Moore-Penrose逆在期权定价中的应用研究

摘要

自从1973年Black和Scholes[1]的开创性论文以来，未定权益的定价理论得到了迅猛发展，其中以无套利定价理论最为突出。粗略的讲，该理论表明市场无套利假设等价于存在鞅测度。如果市场是完全的，则无套利假设等价于存在唯一的鞅测度，从而，对于完全市场中的任何未定权益，都有唯一的无套利价格。然而在不完全市场中，存在许多鞅测度，对不可复制的未定权益，也就有许多无套利价格.这样，仅仅利用无套利理论无法得出未定权益唯一的价格。大量实证结果表明，实际市场是不完全的，因此研究不完全市场中未定权益的定价更加具有实际意义。
　　 本文在利用随机过程的M-P逆求解一类线性随机方程的基础上，对不完全市场中的等价鞅测度进行了较为深入的研究。主要研究内容和结果如下：
　　 在绪论中，主要对金融数学的发展历史，特别是对期权定价理论的研究内容、成果及目前研究热点进行了较为详尽的介绍。
　　 第二章，首先通过把Lévy过程分解为两个独立过程之和，将Esscher变换由单参数推广到双参数，从而得到一簇(双参数)概率测度.我们给出了这簇概率测度是等价鞅测度的充要条件。其次，在几何Lévy过程模型中，利用均值修正方法构造了一个概率测度Qm0.我们证明了Qm0为等价鞅测度的充要条件是Lévy过程具有Brownian运动部分，并且给出了此时Qm0关于市场概率测度的导数表达式。对于纯跳过程，我们证明了此时Qm0与市场概率测度不可能等价，但在Qm0下计算出来的欧式看涨期权价格却是无套利的。
　　 第三章，Dzhaparidze和Spreij[2]证明了任意Rd值，可料的局部平方可积鞅的二次变差过程的M-P逆保持可料性.受此启发，我们首先证明了任意Rd×n值，可料随机过程的M-P逆仍然可料，从而推广了Dzhaparidze和Spreij[2]的结果.在此基础之上，我们进一步讨论了一类线性随机方程可料解的性质及可料解的结构。
　　 第四章，利用第三章的结论，在扩散系数矩阵不必几乎处处满秩的条件下重新讨论了扩散模型.我们利用扩散系数矩阵的M-P逆刻画出了全体等价鞅测度，给出了扩散模型中一些等价鞅测度的具体表达式。
　　 第五章，以M-P逆的形式给出了半鞅模型中的最小鞅测度的一般表达式，并得到了扩散模型，跳扩散模型以及几何Lévy过程模型的最小鞅测度。

目录

文摘

英文文摘

声明

1.绪论

1.1数理金融研究的意义与必要性

1.2数理金融研究的历史与现状

1.3选题依据及研究的主要内容

1.4预备知识

2.常用的等价鞅测度

2.1 Esscher鞅测度

2.2均值修正鞅测度

2.3 q最优鞅测度

3.M-P逆在一类线性随机方程中的研究

3.1矩阵的M-P逆

3.2 Rdxn值，可料随机过程的M-P逆

4.M-P逆在扩散模型中的应用

4.1扩散模型及其假设

4.2扩散模型中等价鞅测度的刻画

4.3应用

5.M-P逆在半鞅中的应用

5.1半鞅模型中的最小鞅测度

5.2扩散模型中的最小鞅测度

5.3跳扩散模型中的最小鞅测度

5.4几何L(e)vy模型中的最小鞅测度

结语

参考文献

附录

致谢