半线性椭圆型方程多解计算的Goldstein型Minimax方法

摘要

在科学技术研究中非线性偏微分方程多解的研究变得越来越重要。近年来，其数值计算方法的研究得到了数学家、物理学家等科学家们的高度关注。本文在计算半线性椭圆型方程的局部极小极大算法(LMM)的启发下，通过改进最优化理论中的线性搜索准则，并将其与LMM方法结合，设计了一种基于Goldstein准则的局部极小极大方法，用来计算具有变分结构的半线性椭圆型方程的多解问题。
　　Y.Li和J.Zhou在文[16]中通过将最优化理论中的Armijo线性搜索准则进行标准化，提出了计算半线性椭圆型方程多解的局部极小极大方法，并进行了相应的收敛性分析。但是当Armijo准则的步长因子取得太大时，需迭代很多次才能满足下降性条件;当步长取得太小时，收敛又太慢。故本文通过引进标准化后的Goldstein线性搜索准则来克服Armijo准则的上述缺点。文章给出了Goldstein型局部极小极大算法，并且进行了收敛性分析，同时计算了不同区域上的Lane-Emden方程和Henon方程的多解。值得指出的是，Armijo准则和Goldstein准则在偏微分方程中的成功应用，使得求解无约束最优化问题中的经典线性搜索理论在一定程度上得到推广，这是非常有意义的工作。

目录

摘要

第一章 引言

§1．1 前言

§1．2 本文结构

第二章 预备知识

§2．1 最优化问题简介

§2．2 不精确线性搜索准则

第三章 半线性椭圆型方程多解计算的Goldstein型局部极小极大方法

§3．1 Goldstein型局部极小极大法思想及相关定理

§3．2 Goldstein型局部极小极大法算法流程

§3．3 Goldstein型局部极小极大法收敛性分析

第四章 数值算例

§4．1 Lane-Emden方程

§4．2 Henon方程

第五章 总结与后续工作安排

参考文献

致谢

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