度量空间上的Lipschitz单位分解

摘要

度量空间X上的一个Lipschitz单位分解是指一族从X到单位区间[0，1]的Lipschitz函数族{vj}j∈J，使得(1)对于每个x∈X，存在X的一个邻域Ux，满足：仅有有限多个函数vj在Ux上非零;(2)x处所有函数值的和为1，即∑j∈Jvj(x)=1.对Lipschitz单位分解一般还有要求它从属于某个特定的开覆盖的附带要求.局部Lipschitz单位分解就是在定义中用局部Lipschitz函数代替Lipschitz函数. 本文首先通过稍微修改Luukkainen和V(a)is(a)l(a)的局部Lipschitz函数族构造，给出了Luukkainen和V(a)is(a)l(a)陈述的下述定理的一个详细证明：对度量空间的任意开覆盖，存在从属于它的局部Lipschitz单位分解.这个定理的一个直接推论是：对紧致度量空间的任意开覆盖，有从属于它的Lipschitz单位分解.该推论稍微加强了Heinonen的一个定理. 本文第二部分内容涉及从属于欧氏空间一个开区域的Whitney覆盖的Lipschitz单位分解.Heinonen指出了如此类型的一个Lipschitz单位分解，但没有证明.本文通过探讨Whitney覆盖的一些附加性质，给出了这个定理的详细证明.在证明过程中，我们也具体化了定理所涉及的常数.

目录

摘要

1．引言

2．预备知识与记号

3．定理1．1和推论1．2的一个证明

4．性质1．3和定理1．4的证明

5．结束语

参考文献

致谢

声明