两类矩阵逆问题和几类约束矩阵方程问题的理论和新算法

摘要

矩阵逆问题是矩阵逆特征值问题的延伸,矩阵逆特征值问题就是根据给定的谱数据构造矩阵的问题,它在控制设计,地球物理学,分子光谱学,粒子物理学,结构分析等领域都有广泛的应用.ε(半)正定和边界约束下的Procrustes问题来源于数理经济和数量统计.约束矩阵方程问题则是在满足一定约束条件的矩阵集合中求矩阵方程的解的问题,它是近年来数值代数领域中研究和讨论的重要课题之一,在结构设计,系统识别,结构动力学,自动控制理论,振动理论等领域有着广泛的应用.本篇博士论文研究了两类特殊矩阵的逆特征值,系统研究了ε(半)正定和边界约束下的Procrustes问题和几类约束矩阵方程问题,完成的主要工作和取得的研究成果如下:
　　 1.研究了两类新的对称矩阵-(R,S,μ)对称及(R,S,α,μ)对称矩阵的逆问题,最佳逼近问题,得到了逆问题有解的充要条件,给出了通解表达式和最佳逼近解的表达式,并定量地讨论了对于最佳逼近问题的扰动性分析,给定出了扰动分析上界具体表达式.
　　 2.利用Dykstra'S交替投影算法,系统地解决了ε(半)正定和边界约束下的Procrustes问题.数值例子验证了算法的可行性和高效性.该问题用传统的矩阵分解技巧或传统的CG类迭代法难以求解,因为难以对边界约束给出具体解析表达式,或构造CG类迭代格式使更新矩阵满足边界条件.
　　 3.在交替投影算法理论的基础上,我们构造迭代算法系统地研究了线性矩阵方程AX=B,AXB=C,AXAT=B,AX+BY=C等在线性子空间或闭凸集(锥)的求解及其最佳逼近问题.丰富的数值实例表明,当系统维数较大时,该算法无论从迭代时间还是迭代步都比传统的迭代算法,如CG,CGLS算法有明显的优势.且当维数成倍增加时,由该算法得到相同精度的解所需的迭代步只是个位数的增长.该算法具有全局收敛性,当初始矩阵取为零矩阵,该算法能得到矩阵方程的在所给约束集合上的极小范数解.若初始矩阵为所给定的初始估计矩阵,该算法能得到相应的最佳逼近解.
　　 4.通过构造具有短递推格式的迭代方法,成功地解决了用迭代法求解主子阵约束下的约束矩阵方程最小二乘问题及其最佳逼近问题.在不考虑舍入误差的情况下,对任意的初始矩阵该算法都可以在有限步计算出问题的解,若选取特殊的初始矩阵,则可以得到相应的极小范数解.讨论了算法的相关性质,得到相应的残差序列的Frobenius范数是严格单调递减的.结合数值算例本文还讨论了算法对于最佳逼近问题的稳定性分析.