矩阵方程AX+YB=E的最小二乘约束解及其最佳逼近

摘要

约束的矩阵方程问题、最小二乘问题及其与相应最佳逼近问题在许多领域有其应用的背景.例如在粒子物理学和地质学,自动控制理论的逆问题,振动理论的逆问题,有限元及多维逼近问题等方面有重要的应用.本篇论文研究了约束矩阵方程AX+YB=E的最小二乘约束问题及其最佳逼近.表述如下:
　　 问题Ⅰ.给定A,B,E∈Rm×n,以及两个集合S1,S2,求X∈S1,Y∈S2使得
　　 ||AX+YB-E||=min其中S1,S2分别为相应阶数的实矩阵集合、对称矩阵集合、反对称矩阵集合、中心对称矩阵集合与中心反对称矩阵集合.
　　 问题Ⅱ.给定A,B,E∈Rm×n,(X)∈Rm×n,(Y)∈Rm×m；求[(X),(Y)]∈SE,使得
　　 ||(X)-(X)||2+||(Y)-(Y)||2=min[X,Y]∈SE[||X-(X)||2+||Y-(Y)||2]
　　 其中SE为问题Ⅰ的解集合,||·||是Frobenius范数.
　　 本文首先提出了矩阵对的概念,由实矩阵空间的内积的定义和性质,导出了矩阵对的内积,由此导出矩阵对的范数.然后利用有限维子空间的投影定理,得到了求||AX+YB-E||=min问题的一般解、对称与反对称解、中心对称与中心反对称解的法方程组.利用共轭梯度法的思想和矩阵的结构特征,设计了迭代格式分别求矩阵方程AX+YB=E的最小二乘问题的一般解、对称与反对称解、中心对称与中心反对称解,分别证明了迭代法的有限步收敛性,并通过将方程适当变形及取特定的初始矩阵,迭代法能求相应的最佳逼近解.数值实例说明算法是有效的.

目录

文摘

英文文摘

第1章 绪论

1.1 约束矩阵方程问题研究概述

1.2 本文所做的工作及本文的符号表示

第2章 矩阵对内积的定义和性质

2.1 矩阵对内积的定义和性质

第3章 矩阵方程AX+YB=E的最小二乘解及最佳逼近

3.1 ||AX+YB=E||=min的法方程组

3.2 求解||AX+YB=E||=min的迭代法及收敛性

3.3 问题||AX+YB=E||=min的最佳逼近

第4章 矩阵方程AX+YB=E的最小二乘对称与反对称解及最佳逼近

4.1 对称最小二乘问题||AX+YB=E||=min的法方程组

4.2 求解||AX+YB=E||=min对称解的迭代法及收敛性

4.3 对称问题||AX+YB=E||=min的最佳逼近

4.4 反对称最小二乘问题||AX+YB=E||=min的法方程组

4.5 求解||AX+YB=E||=min反对称解的迭代法及收敛性

4.6 反对称问题||AX+YB=E||=min的最佳逼近

第5章 矩阵方程AX+YB=E的最小二乘中心对称与中心反对称解及最佳逼近

5.1 中心对称与中心反对称的定义及性质

5.2 中心对称最小二乘问题‖AX+YB=E‖=min的法方程组

5.3 求解‖AX+YB=E‖=min中心对称解的迭代法及收敛性

5.4 中心对称问题‖AX+YB=E‖=min的最佳逼近

5.5 中心反对称最小二乘问题‖AX+YB=E‖=min的法方程组

5.6 求解‖AX+YB=E‖=min中心反对称解的迭代法及收敛性

5.7 中心反对称问题‖AX+YB=E‖=min的最佳逼近

结论

参考文献

致谢