一类约束矩阵方程的最小二乘解及其最佳逼近问题

摘要

约束矩阵方程的求解问题以及相应的最小二乘问题是多年来数值代数领域研究和讨论的重要课题之一,它在系统识别,结构设计,自动控制领域,结构动力学,震动理论等领域有着非常广泛的应用.　　本篇硕士论文分别利用直接法和迭代法研究矩阵方程AX+XTB=C的一般解,三对角解以及相应的最小二乘解的问题,具体问题描述如下：　　问题1.给定A∈Rn×n,B∈Rn×n,C∈Rn×n,求矩阵X∈Rn×n(Rn×n3)使得AX+XTB=C.　　问题2.给定A∈Rn×n,B∈Rn×n,C∈Rn×n,求矩阵X∈Rn×n(Rn×n3)使得min‖AX+XTB-C‖.　　问题3.给定X*∈Rn×n,求^X∈SE(SL)使得‖^X?X*‖=minX∈SE(SL)‖X?X*‖.　　这里Rn×n,Rn×n3分别表示n阶实矩阵,n阶三对角矩阵;SE,SL分别表示问题1,问题2的解集合.　　本文的主要研究内容如下:　　1.我们研究矩阵方程AX+XTB=C的一般实矩阵解,最小二乘解以及对应的最佳逼近解.首先利用直接法求解,利用矩阵列拉直算子和矩阵Kronecker积将矩阵方程AX+XTB=C化为线性方程组Ax=b的形式来研究它的一般解的情况,以及最小二乘解和对应的最佳逼近解的情况,得到方程有解的充分必要条件以及解的表达式.然后再利用迭代法研究矩阵方程AX+XTB=C的一般解,最小二乘解以及对应的最佳逼近解.在不考虑舍入误差时,该迭代法能在有限步终止.　　2.我们研究矩阵方程AX+XTB=C的三对角解,三对角最小二乘解以及对应的最佳逼近解.首先利用直接法求解,得到矩阵方程AX+XTB=C有三对角解的充分必要条件以及通解的表达式.其次,利用迭代法研究三对角矩阵解及其最佳逼近解问题,在不考虑舍入误差的情况下,构造的迭代法对任意的初始三对角矩阵都可以在有限步计算出解集合上的一个三对角最小二乘解,而对于问题3可等价转换为求一个新的矩阵方程的最小范数最小二乘解问题.　　3.给出直接法和迭代法这两类方法的数值例子,证明迭代算法的收敛性,通过数值例子验证了所得到的理论成立.

目录

声明

第 1 章 绪论

1.1 研究背景与意义

1.2 本文研究的主要工作

1.3 本文常用的符号

第 2 章 矩阵方程AX+XTB=C的最小二乘解及其最佳逼近

2.1 引言

2.2 直接法求解问题 1 的解

2.3 直接法求解问题 2 的解

2.4 直接法求解问题 3 的解

2.5 求矩阵方程AX+XTB=C一般解的迭代法

2.6 求矩阵方程AX+XTB=C最小二乘解的迭代解法

2.7 求矩阵方程 AX+XTB=C的最佳逼近解

2.8 算法及数值例子

第 3 章 矩阵方程AX+XTB=C的三对角最小二乘解及其最佳逼近

3.1 引言

3.2 直接法求解问题 1 的解

3.3 直接法求解问题 2 的解

3.4 直接法求解问题 3 的解

3.5 求解矩阵方程AX+XTB=C的三对角解的迭代解法

3.6 矩阵方程AX+XTB=C的三对角最小二乘解的迭代解法

3.7 求解矩阵方程AX+XTB=C的三对角最佳逼近解

3.8 算法及数值例子

结论

参考文献

附录A攻读学位期间所发表的学术论文目录

致谢