Picard模群与球面CR几何

摘要

作为模群PSL(2，Z)在复双曲空间中的高维推广，Picard模群PU(2，1;Od)是一类最简单的复双曲算术格，其中Od是虚二次数域Q(i√d)中的代数整环，d是无平方因子的正整数。因为关于Picard模群的研究成果为发展复双曲离散群的一般性理论提供了十分重要的例子，所以Picard模群是复双几何理论的重要研究内容。
　　 本论文的第一个工作是研究了Picard模群PU(2，1;Od)(d=2，3，7，11)的生成子。利用推广的连分式算法，我们找到了PU(2，1;O3)的一个新的有限生成子系。对于其他的Picard模群PU(2，1;Od)(d=2，7，11)，我们通过首先找到固定无穷远点的稳定子群的一组生成子系，然后将其与Zhao的结果进行比较，从而获得PU(2，1;Od)(d=2，7，11)的一组新的生成子系。另外，对于高维的Picard模群，我们也通过利用使用连分式算法找到了PU(3，1;O3)一套生成子系。
　　 根据Serre的定义，当一个有限生成群既不能分裂成非平凡的含有合并的乘积，又不具有到Z的满同态时，则称该群具有性质(FA).考虑一个群是否具有性质(FA)是半单李群的一个重要问题。
　　 本论文的第二个工作是研究了复双曲算术格Gauss-Picard模群PU(2，1;O1)和Eisenstein-Picard模群PU(2，1;O3)的姊妹群的性质(FA).Eisenstein-Picard模群及其姊妹群是仅有的两个具有极小体积的带尖点的复双曲轨形的基本群，它们都是算术群。2007年，Stover证明了Eisenstein-Picard模群PU(2，1;O3)具有性质(FA)，并问其他Picard模群PU(2，1;Od)是否也具有性质(FA)?我们证明了PU(2，1;O1)具有性质(FA)和Eisenstein-Picard模群PU(2，1;O3)的姊妹群具有性质(FA)，这是对Stover提出的问题的部分肯定回答。该结果表明，作为仅有的两个具有极小体积的带尖点复双曲轨形的基本群，Eisenstein-Picard模群和Eisenstein-Picard模群的姊妹群都具有性质(FA).
　　 几何中一个很重要的问题就是研究空间拓扑性质和其在某种好的几何结构下的几何性质之间的联系。三维流形上的一个球面CR结构指的是一套S3中的坐标卡，其中的坐标变换是PU(2，1)中的元素在开集上的限制。众所周知，所有可以配置接触结构的三维流形很自然地可以配置CR结构。这个事实使得我们预想球面CR结构应该是研究三维流形的一个基本问题，因此，一个自然的问题就是哪些三维流形具有球面CR结构。
　　 本论文的最后一个工作是研究了三维双曲流形八字结的补M=S3-K的球面CR结构,其中K是八字结。通过粘合四面体的方法，Falbel构造了八字结的补的基本群π1(M)到PU(2，1)的三个互不共轭的表示ρi(i=1，2，3)。他详细研究了第一个表示ρ1，证明了该表示的离散性以及对应的球面CR结构的存在性，有意思的是该表示下的像群ρ1(π1(M))作用在复双曲空间上的极限集是整个边界S3.在本文中，我们主要研究了第二个表示ρ2，证明了该表示是离散的并且ρ2(π1(M))是Picard模群PU(2，1;O7)的无限次子群，证明了在该表示下存在一个分歧球面CR结构。我们还比较了这三个表示之间的异同:最大的相同之处是它们的像群ρi(π1(M))都是算术的，ρ1(π1(M))是Eisenstein-Picard模群PU(2，1;O3)的无限次子群，而ρ3(π1(M))和ρ2(π1(M))是共轭的，所以也可以看成是Picard模群PU(2，1;O7)的无限次子群;最大的不同之处则是ρ1(π1(M))含有一个无限次的曲面子群ρ1(F2)（F2是单洞环面的基本群，这是因为八字结的补是圆环上的单洞环面丛），而该曲面群在第二和第三个表示下的像群则是有限次（三次）的子群，该结果表明，八字结的补的基本群到PU(2，1)的三个表示中的第二个和第三个表示几乎是由其曲面子群决定的。

目录

声明

摘要

第1章 绪论

1．1 Picard模群的研究背景及发展现状

1．2 球面CR几何的研究背景及发展现状

1．3 本文的研究内容

第2章 复双曲空间

2．1 复双曲平面H2C

2．1．1 单位球模型

2．1．2 Siegel区域模型

2．1．3 两种模型之间的Cayley变换

2．2 等距变换

2．3 全测地子流形及其边界

2．3．1 C-circle

2．3．2 R-circle

第3章 Picard模群

3．1 前言

3．2 预备知识

3．2．1 固定无穷远点的稳定子群

3．2．2 连分式算法

3．2．3 Eisenstein-Picard模群的姊妹群Γ2

3．2．4 性质(FA)

3．3 欧几里得Picard模群的生成子

3．3．1 PU(2，1；Z[ω3])

3．3．2 PU(2，1；(O)d)

3．3．3 PU(3，1；Z[ω3])

3．4 性质(FA)

3．4．1 定理3．1．3的证明

3．4．2 定理3．1．5的证明

第4章 八字结的补的球面CR结构

4．1 前言

4．2 预备知识

4．2．1 八字结的补M

4．2．2 π1(M)到PU(2，1)的表示

4．3 表示

4．3．1 第一个表示ρ1

4．3．2 第二个表示ρ2

4．3．3 第三个表示ρ3

4．4 四面体

4．4．1 边

4．4．2 三角形

4．4．3 CR四面体

4．5 分歧(branched)球面CR结构

4．5．1 第一个表示ρ1

4．5．2 第二个表示ρ2

4．5．3 主要引理的证明

结论

参考文献

致谢

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