半单环上长方矩阵几何研究

摘要

矩阵几何是华罗庚院士于上世纪四十年代开创的一个数学研究领域,其成果长期受到国内外许多学者的重视.2006年,黄礼平证明了对应于由矩阵分数秩定义的算术距离的半单环上长方矩阵几何基本定理.本文讨论对应于由矩阵内秩定义的算术距离的半单环上长方矩阵几何,得到一些新的结果.
　　 本文分为三章.
　　 第一章,介绍本文的课题背景、发展状况及主要结果.
　　 第二章,证明了单Artin环上长方矩阵集合不是好的距离图,并讨论了其上的双向保粘切的等价命题.给出了对应于内秩定义算术距离的单Artin环上长方矩阵几何基本定理:设R是一个单Artin环并且R不同构于F2上的全矩阵环,m,n≥2.设ψ:Rm×n→Rm×n是一个双向保粘切的双射,则当m≠n时,ψ形如ψ(X)=PXσQ+ψ(0),其中P∈GLm(R),Q∈GLn(R),σ是R的一个自同构;m=n时,ψ形如上式或形如ψ(X)=Pt(XT)Q+ψ(0),其中T是R的一个反自同构,P∈GLm(R),Q∈GLn(R).反之,任意形如上式的映射均为双向保粘切的双射.
　　 第三章,讨论了关于半单环上长方矩阵几何的一些结果,并且得到下面的结果:设R是一个半单环且R=R1×…×RT≌Mn1(D1)×…×mnr(DT),其中Di为体且Di≠IF2,Ri≌Mni(Di),I=1,…r.设ψ:Rm×n→Rm×n(m,n≥2)是一个双向保粘切的加法双射,并且ψ(0,....,0,Rim×n,0,...,0)=(0,...,0,Rim×n,0,...,0),I=1,...,Υ.则ψ形如ψ(X)=PXTQ,(V)X∈Rm×n,其中尸∈GLm(R),Q∈GLn(R),T是关于Rm×n的一个伪同构.