关于类置换群和阶映射的两个猜想

摘要

本文研究类置换矩阵群的一个猜想和阶映射的一个猜想。首先考虑类置换矩阵群的猜想.如果一个矩阵群g中的每一个矩阵都相似于一个置换矩阵，那么称g为类置换矩阵群(permutation-like matrix group).如果存在一个可逆矩阵Q，使得对群g的每一个矩阵A，Q-1 AQ都是一个置换矩阵，那么称g是一个置换矩阵群(permutationmatrix group).2005年，G.Cigler指出类置换矩阵群一般不是置换矩阵群。他提出一个猜想，如果一个有限类置换矩阵群g包含一个极大循环，那么g是一个置换矩阵群.这里“极大循环”是指对应于长度等于维数的循环置换的置换矩阵.G.Cigler证明了:如果n维类置换矩阵群g包含一个极大循环C使得C生成的子群正规于g，而且n=4或者n是素数，那么乡是置换矩阵群。这个问题直到我们的结论（2014年）出来之前，没有任何进展.本文将证明:如果n维的类置换矩阵群g包含了一个极大循环C使得C生成的子群正规于g，而且n是一个素数的幂，那么g是置换矩阵群。.设有限群G与循环群C的阶都为n.如果双射f:G→C使得对任意g∈G，g的阶都是f(g)的阶的因数，那么我们就称f是从G到同阶循环群C的一个阶映射.如果存在这样的阶映射，就说G有阶映射.很多研究问题和结果与阶映射有密切联系，而且揭示下面的猜想有可能是正确的。