不可压多松弛格子Boltzmann方法的研究及其应用

摘要

无论是燃烧还是气固两相流的计算，都有一个共同的研究领域--流体力学，对流体力学的研究是研究复杂物理现象的基础。格子Boltzmann方法(LBM)是上世纪80年代末从格子气自动机(LGCA)发展而来的一种新的计算流体数值方法。
　　 与传统数值方法的研究视角不同，LBM是从微观粒子运动的层面来对流体进行数值模拟的。LBM的描述对象是单一粒子的分布函数，分布函数的控制方程为经典Boltzmann方程。而LB方程则是Boltzmann方程在相空间的离散形式，这种离散包括粒子速度空间、时间空间的离散。通过Chapman-Enskog展开，利用物理量的守恒关系，在满足小Knudsen数和小Mach数条件下，可以将LB方程还原到描述流体运动的宏观流体力学方程。从而，我们可以通过数值模拟粒子的分布来达到描述宏观流体运动的目的。
　　 格子Boltzmann方法是与现代计算机匹配的高效新算法，它具有天然并行性、结构简单、易于编程的优点，在流体力学等领域得到了广泛的应用，已经成为研究非线性现象和复杂系统的重要方法之一。
　　 但是，格子Boltzmann方法至今还有不完善之处，比如外力的处理，不可压多松弛模型的研究。该方法虽然已经在多相流、多孔介质流、悬浮粒子流、磁流体力学等领域取得了很大的成功，但是目前在微重力流体力学中的应用研究甚少。另外，尽管LB方法程序简洁，但是随着模拟问题的复杂性和人们对模拟结果精度要求的提高，使得计算量剧增，因此对程序的优化至关重要，它直接影响着LB方法在工程实际中的应用。因此，本文就以上提出的几个方面做了有益的尝试，为相关工作的深入展开奠定了必要的基础。
　　 首先，我们构造了一种求解含外力项的Navie-Stokes方程的格子Boltzmann模型。不同于已有的模型，将外力的空间导数加到演化方程中，通过Chapman— Enskog(C—E)展开，不需要多余的假设可以恢复到宏观方程。详细讨论了三种离散格式，可以证明，现有的一些模型是本文提出模型的特例。数值实验结果表明，我们提出的方法具有二阶数值精度和较好的数值稳定性。
　　 其次，提出了二维九速和八速不可压多松弛模型，该模型基于Guo提出的LBGK模型。通过Gram—Schimidt正交化过程，构造了八速模型的线性变换矩阵，该矩阵满足Ginzburg给出的通用的格式。通过多尺度展开，两类模型都可以恢复到不可压的宏观方程，该模型消除了已有模型中存在的可压缩效应。对各种问题的数值实验结果表明，模型的数值稳定性很好。为模拟不可压流动提供一种数值稳定性较好的方法。
　　 第三，对于微重力流体力学中一类重要的流动一一热毛细对流，我们构造了双分布的LB模型。采用非平衡态外推格式使得边界处理变得极其简单可行。对二维上表面是自由边界的矩形容器内的熔体做数值实验，验证了该模型的正确性。因此，LB在微流体力学中的应用是可行的，为研究微重力环境下的各种流体提供了一种新的介观方法。
　　 第四，以经典算例一方腔流为例，对格子Boltzmann方法的核心代码进行了优化，主要做了时间和空间上的优化，优化的程序计算效率提高数倍。在并行的框架下，核心演化的代码换为优化后的程序，计算效率仍然有大幅度的提高。
　　 总之，本文提出两个多松弛不可压LB模型，改善了单松弛LB模型的数值稳定性；进而提出一种外力处理的通用格式，并给出了严格的数学推导；研究了微重力环境下表面张力驱动的热毛细对流问题，为LB方法在该领域的应用提供很好的基础；设计的高效LB算法提升了其实际应用的空间。