格子Boltzmann方法基础理论研究及其在不可压缩流动中的应用

摘要

通常条件下，宏观系统的动力学行为对其内在的微观物理系统的运动细节并不敏感。因此，对于宏观水动力学的研究，在保证基本守恒定律的前提下，尽可能多的忽略一些具体的微观运动细节所构建的微观动力学模型可以恢复到宏观的N-S方程，进而可以准确的描述流体的流动。格子气模型及其导出的格子Boltzmann方法就属于这种微观动力学模型。在过去的几十年里，格子Boltzmann方法已经迅速地发展成为一种精确且有效的计算流体动力学数值方法。与传统的流体动力学数值方法相比，格子Boltzmann方法具有易于实施、并行性好的优势。更为重要的是，由于其动理学的物理本质，格子Boltzmann方法可以通过引入微观物理特性的方式来处理许多复杂的流动现象。本文应用不同的理论分析工具对格子Boltzmann方法的理论基础做了系统的研究，并对其在实际流动中的应用做了理论创新和改进。
　　本文的主要工作有：
　　①研究格子Boltzmann方法的基础理论，并归纳总结了该方法的基本建模原理。根据宏观方程的具体形式，可以先对分布函数的各阶矩方程进行修正，然后应用Hermite多项式展开理论确定平衡态分布函数的连续形式的表达式，最后，应用满足精度要求的格子模型对其进行离散，便可以得到能够恢复到目标宏观方程的离散形式的平衡态分布函数。
　　②提出了一个新的不可压缩格子Boltzmann模型：假设流体密度为一个常数且与压力无关，对分布函数的矩方程进行修正，并应用Hermite展开理论和相空间离散技术，便得到了新模型的平衡态分布函数，然后，应用对角部分的分布函数的二阶矩方程，又提出了一种新的压力计算公式。此外，采用两种思路来改善新模型的数值稳定性：一是应用多松弛的碰撞模型；二是根据规则化的BGK碰撞模型的基本思想，直接在BGK碰撞算子的基础上引入一个额外的松弛参数以抑制非水动力学变量的影响。
　　③对格子Boltzmann方法在模拟不可压缩流动时所采用的几个模型进行了理论和数值对比。应用基于对流尺度的Chapman-Enskog多尺度展开对比分析各个模型对应的宏观方程的具体形式；根据 M. Junk提出的基于扩散尺度的理论分析思路，推导模型对应的有限差分表示，并对比分析各个模型在离散宏观 N-S各项时采用的有限差分模板；此外，还推导了格子Boltzmann方程对应的等价的矩系统，对比分析各个模型恢复得到的宏观方程的截断误差。应用定常的方腔流、后台阶流和非定常的突然启动的圆柱绕流，对各个模型的数值性能进行对比。
　　④提出了一种新的曲面边界处理格式：应用一阶的Chapman-Enskog展开推导分布函数的表达式，再应用一阶的Taylor展开，将边界面上的宏观边界约束传递到边界点处，然后就可以根据边界点处的已知信息来确定未知的分布函数分量。本质上，新的边界格式是用关于边界点处的已知分布函数分量的线性组合来确定未知的分布函数，而线性组合的系数则与边界面上的宏观约束信息、边界点的几何信息以及格子Boltzmann模型的松弛参数有关。
　　⑤为了抑制S-C模型在相界面处的伪势速度的影响，本文提出了一种在格子Boltzmann模型中引入非理想气体状态方程的新思路：即直接修正分布函数的二阶矩方程，将非理想气体的状态方程引入压力项。根据新的状态方程的处理思路，本文设计了对应的多松弛多相流模型。
　　上述工作的结果表明
　　①提出的新的不可压缩格子Boltzmann模型可以恢复到标准的不可压缩N-S方程。理论分析表明，尽管采用了新的压力计算公式，但是在离散宏观方程的压力梯度项时，新模型和其它的模型采用的差分模板相同，此外，由于新模型中的流体密度为一个常数，标准模型中与??有关的截断误差项可以被新模型避免。数值结果表明，相比于标准模型和其它的几个不可压缩模型，新模型在偏应力较大的区域精度更高，而且由新模型得到的非定常的流动特征与流动的不可压缩性更为接近。
　　②提出的新的曲面边界处理格式与传统的格子 Boltzmann曲面边界格式不同，新格式求解边界点处的未知分布函数的过程是局部的，并没有引入附近流体节点的信息。此外，新格式采用新的方式确定边界点的几何信息，即引入附着在边界面上的曲线坐标系，并直接用边界点的坐标来确定其位置。新的曲面边界格式具有二阶精度，这可以由其理论推导过程和数值结果证明。
　　③提出的新的状态方程引入方式可以保证动量在局部格点上的守恒，因此可以有效抑制S-C模型相界面附近的伪势速度的影响。应用Chapman-Enskog多尺度展开，在小Ma条件下，对应新的状态方程引入方式的多松弛多相流模型可以恢复到耦合了非理想气体状态方程的宏观可压缩 N-S方程，而且对各向同性空化问题的研究表明，新的多相流模型可以准确地引入非理想气体的状态方程。但是，与S-C模型不同，由于新模型的压力张量为各向同性张量，新模型中没有表面张力的作用。

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1 绪 论

1.1 研究背景

1.2 研究目的及意义

1.3 国内外研究现状

1.4 本文研究主要内容

2 格子Boltzmann方法的基本原理

2.1 引言

2.2 从Boltzmann方程到格子Boltzmann方程

2.3 从格子Boltzmann方程到宏观N-S方程

2.4 格子Boltzmann方法的建模原理

3 格子Boltzmann方法的不可压缩模型研究

3.1 常规的格子Boltzmann模型

3.2 一个新的不可压缩格子Boltzmann模型

3.3 数值验证

3.4 三维不可压缩模型

3.5 本章小结

4 一种新的曲面边界处理格式

4.1 格子Boltzmann方法边界格式综述

4.2 一种新的曲面边界格式

4.3 数值验证

4.4 边界格式的发展与流固耦合

4.5 本章小结

5 一种处理非理想气体状态方程的新思路

5.1 引言

5.2 处理非理想气体状态方程的新思路

5.3 数值验证

5.4 本章小结

6 结论及展望

6.1 研究结论

6.2 不足与展望

致谢

参考文献

附录