若干非线性系统中孤子结构与传输特性的研究

摘要

孤子概念是20世纪非线性科学的重要发现，其起源可追溯到英国海军工程师Scott Russell在1834年对河面浅水波的观察。10年之后，Scott Russell在英国科学促进协会年会上报道这一现象，从此揭开了人类对自然界中大量存在的非线性系统研究的序幕。不过孤子及其相关非线性的系统性研究是在20世纪下半叶。在最近几十年，孤子物理学发展迅猛，目前已经拓展到了许多领域，如非线性光学、半导体电子学、光子学、等离子体、Bose-Einstein凝聚、生物学、热传导、液晶等。目前已在不同的物理系统中发现了孤子现象，如浅水波、深水波、等离子体中的电荷密度波、Bose- Einstein凝聚中的物质波、DNA链中的激发子等。但是，最能体现孤子多样性的领域是光学。由于现代通信产业对高容量光传输、全光信息处理与全光控制等光学技术的潜在需求，光孤子成为所有孤子研究领域中最前沿、最热门的研究课题。另一方面，不同非线性领域中控制孤子传输和演化的动力学方程具有相同或相似的形式，因此不同领域间还能相互启发、相互补充，共同推动非线性科学与技术的发展。 孤子物理学是关于孤子在非线性介质中的形成、传输演化与控制及其相互作用的一门科学，涵盖了各种类型孤子的形成机理、稳定性分析、传输特性、相互作用以及孤子通信与控制的应用等方面的研究。最近几年，孤子研究出现了一些新的动向，如非局域非线性介质中的传输孤子、自旋孤子、偶极孤子及Laguerre和Hermite孤子簇等。所有这些极大地丰富了孤子物理学的研究内容，为实现全光控制和原子干涉测量等，以及新型材料的研制提供了广阔的前景。显然，这些是我们选择非局域孤子作为我们研究课题的主要原因。本论文的工作主要是围绕非局域孤子来展开的，所取得的成果如下: 1．考察了非局域性对平面波调制稳定性的影响，分析了非局域性对空间孤子稳定性负面影响的物理机制 首先简要回顾了空间孤子稳定性研究的基本情况，阐述了非局域性对抑制空间孤子不稳定性的作用。接着导出了非局域非线性系统模型，在此基础上讨论了含5阶非线性的弱非局域非线性系统中连续波调制的稳定性质。结果表明，连续波的稳定性取决于3-5阶非线性的符号、非局域度以及光波的强度。非竞争非线性光学介质和Kerr介质中，连续波具有相同的稳定特性。但竞争非线性将改变连续波的稳定特性和调制不稳定性增益谱的结构与性质。 在考查存在非线性增益情况下弱非局域竞争型非线性系统时，我们发现，相对强的非局域性会破坏孤子传播的稳定性。在对这一现象的物理机制分析后认为，非局域性使非线性介质成为一个相互制约的整体，不仅制约整个介质的非线性行为和光束衍射的行为，同时也使不同位置的微扰相互关联。因此孤子在传播时，要受到介质整个区域的微扰影响，过大的非局域性必将导致孤子传播不稳定。这一新发现的现象有助于我们更好地理解非局域性的本质。 2．从理论上分析了矩形边界条件对强非局域孤子簇结构和对称性的影响 介质的非局域性依赖于其边界条件和物理特性，因此非局域性会通过边界条件对孤子的结构和传输特性施加影响。在介绍由C. Rotschild等人完成的有限非局域非线性介质中相干椭圆孤子和涡流环形孤子观测的实验基础上，我们应用自相似方法完成了所相应的数学模型的求解，从理论和数值模拟两个方面对空间孤子簇的结构与对称性进行了系统分析，获得了一些结果。 首先，大范围矩形边界下非局域热铅玻璃中可存在和传输Hermite-Gaussian类型的空间孤子，具有单孤子和多孤子两种结构，在初始条件和系统参数给定的情况下，其结构由二个整数参数决定。 其次，不论是单孤子还是孤子簇，对于确定的介质，孤子呈现椭圆形，其对称性不仅取决于介质的边界条件，而且还与入射光束的功率和对称性以及传播距离有关。我们对理论和实验结果进行了比对分析，认为两者之间不完全一致的原因可能是实验中样品的选择太少而造成的。 更有趣的是，孤子簇还呈现出一些独有的特征，如Hermite-Gaussian孤子构成一个有确定行列的矩阵簇，簇中孤子的对称性与对应的单孤子相同，位于矩阵边的沿孤子强度大于中央孤子的强度。这些特征为我们通过边界条件遥控孤子提供了可能。 3．提出三维强非局域冷原子气体模型，考察二维和三维强非局域孤子的关联性与差异性 凝聚状态下冷原子气体的非线性由局域非线性和非局域非线性两部分组成，其中局域非线性可以通过Feshbach共振技术调节。在局域非线性调整到零的情况下，局域非线性效应可以忽略，但与长程相互作用关联的非局域性则占有支配地位。针对这样一种特殊情况，我们提出了一个扩展的非局域非线性模型。研究表明，强非局域下的三维物质波孤子属于一种新的类型——Hermite-Laguerre-Gaussian孤子簇，呈现项链、涡流环、散斑形或矩阵结构，不同于二维Hermite-Gaussian孤子和Laguerre-Gaussian孤子，具有更为复杂的结构和某些新的传输特性，在数学上是Hermite函数、Laguerre函数和Gaussian函数的乘积，在物理上表现为三个函数的相互调制。对于孤子矩阵，其中央相邻孤子之间的间距依赖于角量子数。孤子簇在演化过程中其宽度会发生变化，不同方向上的宽度变化取决于对应的谐振系数和原子密度分布的初始宽度。 与此同时，我们对二维和三维强非局域孤子的特征进行了比较分析，找出了它们之间的关联性与差异性，并从数学和物理机制上阐述了关联和差异存在的内在原因。我们认为，无论是Hermite-Gaussian孤子、Laguerre-Gaussian孤子，还是不同平面上呈现的Hermite-Laguerre-Gaussian孤子，以及其它类似的孤子（如线性孤子、自旋轴承孤子）均属于一类孤子簇，可统一归口为Whittaker-Gaussian孤子簇。 4．变参数法求解非线性Schr?dinger方程 非线性schr?dinger方程是自然界众多的非线性物理现象的数学描述，搜寻其解析解是把握非线性物理现象的本质、揭示孤子特性的基础和关键。目前精确求解非线性schr?dinger方程的方法有很多，如反散射变换法、Darboux-B?cklun变换、Painléve展开法以及自相似技术等。这些方法各有千秋，在解非线性问题时各自发挥着不同的作用。在现有解法的基础上寻找新的方法、技巧和技术仍是孤子领域的主要研究内容之一。 所考查的NLS方程含有3-5阶非线性和自陡项，不属于Painléve类型方程，不能采用反散射变换和Darboux-B?cklun变换求解。为此我们参考线性微分方程理论的变系数法，特别引入一种所谓的“变参数法”的新方法，其主要思想是将标准非线性Schr?dinger方程的形式解中的参数作为时间和空间的函数，然后将其代入到支配方程，并设法确定这些待定参变量。变参数法不仅在考察超短脉冲孤子的特征方面具有重要的意义，同时也为求解其它的NLS方程提供了一个新的思路。 全文以搜寻非线性系统模型的解析解为基础，以研究孤子解的结构和动力学特性为目的，具体考察了一维弱非局域非线性光学系统（含5阶非线性或/和非线性增益）、矩形边界下二维强非局域热铅玻璃系统、三维强非局域冷原子气体以及广义非线性Schr?dinger系统等四类系统，取得了一些具体成果。