非弹性的带外场Boltzmann方程和VPB方程的Cauchy问题

摘要

1872年Boltzmann在Maxwell等人工作[1,2]的基础上建立了Boltzmann方程[3].Boltzmann方程可以用来描述稀薄气体随时间演化的规律.而在外力作用或在自洽引力,斥力作用下可以用带外场的Boltzmann方程和Vlasov-Poisson-Boltzmann(简称VPB)来描述.根据碰撞过程中能量是否损失的情况可分为弹性和非弹性两种情况.
　　宇宙中存在大量的带电粒子,带电粒子之间不仅存在短程力(碰撞)还存在着库仑静电力与万有引力.库仑静电力远远大于万有引力,从而万有引力的作用可以忽略,库仑静电力和碰撞相互作用决定着带电粒子的状态.粒子在感应电场中通过碰撞相互作用.Boltzmann方程只能模拟碰撞作用,对于库仑静电力的作用就会失效.VPB系统可以描述库仑静电力和碰撞这两种力,从而用来模拟稀薄带电粒子状态.
　　本文主要考虑软位势下非弹性的带外场的Boltzmann方程和VPB方程解的存在性和稳定性.弹性恢复系数η为常量且取值范围为[13,1].首先,对带外场的Boltzmann方程得到了碰撞前后速度的关系以及碰撞算子的估计.其次,我们在一类Banach函数空间上构造了一个映射并证明其为压缩自映射,利用Banach不动点定理证明了带外场的Boltzmann方程经典解的存在性.从方程的温和形式出发结合碰撞算子的估计证明了带外场的Boltzmann方程解的L1一致稳定性.最后,利用带外场的Boltzmann方程经典解的存在性及迭代法证明了VPB系统经典解的存在性,构造了辅助函数,并对其做估计得到了VPB方程局部L1稳定性.

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1 绪论

1.1 问题描述

1.2 研究现状

1.3 本文的工作及安排

2 预备引理

2.1 基本性质

2.2 碰撞算子的估计

3 带外场的Boltzmann方程

3.1 带外场的Boltzmann方程经典解的存在性

3.2 带外场的Boltzmann方程解的L1一致稳定性

4 VPB方程

4.1 VPB方程经典解的存在性

4.2 VPB方程解的局部L1稳定性

结 束 语

致谢

参考文献