带跳与延迟倒向随机微分方程问题研究

摘要

倒向随机微分方程在现实生活中有着广泛的应用,如随机最优控制,数学金融,金融市场中的博弈论等等.本文主要研究几类倒向随机微分方程及其应用.
　　本篇博士论文共分为四章.
　　第一章回顾了这几类倒向随机微分方程的相关历史背景,当前研究状况和这些随机微分方程一些有趣的工作,以及本文的要用的记号和公式.
　　第二章考虑了一类带跳的倒向Mckean-Vlasov随机微分方程.首先,运用经典的Banach不动点定理,在Lipschitz假设下我们得到了这类方程的解的存在唯一性.本章的第二个工作就是:利用Picard迭代得到了带跳的倒向Mckean-Vlasov随机微分方程的比较定理.
　　第三章我们减弱了之前延迟倒向随机微分方程生成子的Lipschitz假设条件,并在弱假设条件下,运用Bihari不等式推导出带跳的延迟倒向随机微分方程解的存在唯一性定理.接着利用Girsanov定理,得到一个比较定理.最后当假设条件的系数从一个常数变为函数时，Girsanov定理就失去了效用,此时我们引入生成子的截断函数并且运用前一比较定理来证明这种情形.其方法与已有文献明显不同,为研究这类问题提供新的途径.
　　第四章考虑了一类特殊的延迟倒向随机微分方程的最小解的存在性,在文中我们假设方程的生成子满足连续性条件和类似线性增长条件.已有的文献已经证明了一维延迟倒向随机微分方程在通常的连续条件下最小解的存在性,而在本文中我们的假设条件要弱于之前的文献,得到的引理也不同,然而我们还是得到了相同的结果.在文章的最后,作为最小解的一个应用,我们得到了非Lipschitz条件下解的存在唯一性定理.

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1 绪论

1.1 倒向随机微分方程的历史背景及相关结果

1.2 本文创新点

1.3 本文研究内容

1.4 本文记号和需要的公式

2 带跳的倒向Mckean-Vlasov随机微分方程的解及其比较定理

2.1 引言

2.2 解的存在唯一性

2.3 解存在唯一性的证明

2.4 一维带跳的倒向Mckean-Vlasov随机微分方程解的比较定理

2.5 附录

3 弱条件下带Poisson跳的延迟倒向随机微分方程的适应解和

3.1 引言

3.2 假设条件及定义

3.3 弱条件下带Poisson跳的延迟倒向随机微分方程的存在唯一性定理

3.4 弱系数下带Poisson跳的延迟倒向随机微分方程解的比较定理

3.5 Appendix

4 类似线性增长条件和连续性假设下最小解的存在性

4.1 引言

4.2 最小解的存在性

4.3 最小解定理的应用

致谢

参考文献

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