马尔可夫切换型随机微分方程的数值方法

摘要

马尔可夫切换型随机系统是一类非常重要的随机混合系统，在自然科学领域得到了较广泛应用，受到了人们越来越多的关注。然而对于大多数随机微分方程的分析解不易求得，因此我们常常会关注其离散型的数值解。离散型的数值解的收敛性和稳定性是数值分析的两个主要内容。对于一致利普希兹连续系数的线性随机微分方程的数值解的收敛性和稳定性已经得到了较为完善的研究。2011年，Szpruch和Higham([1])证明了具有单边利普希兹漂移系数和线性增长扩散系数的非线性随机微分方程的倒向Euler-Maruyama方法数值解的强收敛性。2013年，Mao和Szpruch([2])证明了在单边线性增长条件和单边利普希兹漂移系数下非线性随机微分方程的随机theta方法的数值解的强收敛性。本文借鉴Mao和Szpruch的方法研究了马尔可夫切换型随机微分方程在单边利普希兹条件和单边线性增长条件下的倒向Euler-Maruyama方法数值解的强收敛性及其稳定性。
　　本文利用随机积分的相关性质、伊藤引理、停时理论、Burkholder-Davis-Gundy不等式和Gronwall不等式等随机分析的工具研究了全局解的存在唯一性与稳定性及有界性，并在一系列引理的基础上证明了倒向Euler-Maruyama方法数值解的强收敛性，又应用半鞅收敛定理建立了倒向Euler-Maruyama方法数值解的稳定性。本文最后又研究了马尔可夫切换型随机微分方程的随机theta方法数值解的收敛性和稳定性问题。

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1 绪论

1.1 引言

2 解的性质

2.1 预备知识

2.2 全局解

3 倒向Euler-Maruyama方法数值解的收敛性和稳定性

3.1 倒向Euler-Maruyama方法

3.2 倒向Euler-Maruyama方法数值解的有界性

3.3 倒向Euler-Maruyama方法数值解的收敛性

3.4 倒向Euler-Maruyama方法数值解的稳定性

4 随机theta方法数值解的收敛性与稳定性

4.1 随机theta方法

4.2 随机theta方法数值解的有界性

4.3 随机theta方法数值解的收敛性

4.4 随机theta方法数值解的稳定性

4.5 例子

结 束 语

致谢

参考文献