稳定Lévy过程驱动的易兴奋系统的若干动力学行为

摘要

通常,噪声对系统的干扰会产生各种各样的现象,如稳定性改变,随机共振,噪声诱导的转移和噪声引发的突变等.为了更加准确的用动力系统来分析某些现象,对随机动力系统的研究就显得尤为重要.在噪声的模拟中高斯白噪声最为常见,它所对应的数学模型为布朗运动.Lévy过程则适合模拟现实生活中具有跳和突发行为的噪声.相比布朗运动,非高斯的Lévy过程更加具有普遍性.在非线性系统中,有一类特殊的系统被称为易兴奋系统.这类系统对噪声非常的敏感,现存文献大部分所研究的都是关于高斯噪声对其产生的影响.在本文中,我们考虑的是对称α-稳定的Lévy过程对被称为FitzHugh-Nagumo模型的易兴奋系统的影响.在二维FitzHugh-Nagumo模型中,变量x(t)代表着系统的快变量,对应于神经细胞的膜电位.y(t)代表着系统的慢变量,对应于钾离子通道输送的缓慢恢复.我们通过三个确定性的指标:首次逃逸概率,平均首次逃逸时间,最大可能轨道来刻画由对称α-稳定的Lévy噪声所激励的随机易兴奋系统中的一些动力学行为.同时作为对比,也考虑了相同条件下布朗运动的情形.本文由以下几个章节组成. 第一章,我们简单讨论了整篇论文的历史背景,研究现状和主要内容. 第二章,我们介绍了关于确定性动力系统,Lévy过程,随机动力系统等相关基础知识.回顾了布朗运动和Lévy过程的定义、性质以及一些定理.同时也详细介绍了随机吸引域以及刻画随机动力系统行为的三个指标. 第三章,我们考虑由对称α-稳定的Lévy过程所驱动的FitzHugh-Nagumo模型的逃逸行为.主要研究的是该模型在受到带跳的噪声扰动后是否会产生脉冲响应.同时也考虑了噪声为布朗运动的情形.我们主要通过首次逃逸概率来分析从平衡状态转移到兴奋状态的概率,平均逃逸时间来刻画噪声对系统稳定性的影响.首次逃逸概率越大,表明噪声越促进系统状态的转移,FitzHugh-Nagumo系统越容易发生放电行为.平均首次逃逸时越长,则意味着系统相对越稳定.通过数值模拟结果可以发现,小跳的Lévy噪声和较小的噪声强度有利于尖峰脉冲的产生.然而越大的α指标和噪声强度则对应越短的平均逃逸时间.当噪声强度固定时,布朗运动相比于Lévy情形存在较大的差异.为了刻画Lévy噪声对整个系统的影响,我们分别计算了不同噪声强度和Lévy指标的情况下,逃逸区域中高概率区域和高首次逃逸时所对应的面积. 第四章,我们从概率密度函数随时间变化的角度来考虑由对称α-稳定的Lévy噪声对从平衡点出发的解轨道的影响.通过记录每个时刻概率密度函数的最大值所对应的位置坐标(最大可能轨道)来刻画概率密度函数随时间的演化.并分别展示了最大可能轨道所对应的膜电位和恢复变量随时间变化的过程.同时,也计算了不同α值和噪声强度下,最大可能轨道在平衡点附近停留时间和进入高电势的停留时间.通过分析特殊时间区间内的概率密度函数变化来解释最大可能轨道发生跳的原因.此外,我们在左右分支的“吸引域”内选取两点画最大可能轨道,展示最大可能轨道最初的方向选择以及是否连续. 第五章,我们主要分析FitzHugh-Nagumo模型中独特的“ghost”分界线在随机环境中的情况.并简单介绍了关于这条分界线的相关内容.然后利用最大可能轨道显示出“ghost”分界线的存在性,通过逃逸区域中的首次逃逸概率来刻画出随机环境中的“ghost”分界线. 第六章,我们总结概括了本文的主要内容,并指出后续研究的内容与方向.

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摘 要

Abstract

目 录

1 绪论

1.1 历史背景和研究现状

1.2 本文主要内容

2 预备知识

2.1 确定性的动力系统

2.2 随机分析相关概念

2.3 Lévy过程相关概念

2.4 随机动力系统

3 易兴奋系统中 Lévy 噪声诱导的逃逸行为

3.1 引言

3.2 FitzHugh-Nagumo模型

3.3 平均首次逃逸时和逃逸概率的数值解法

3.4 结果分析

4 Lévy 噪声激励下的 FitzHugh-Nagumo 模型的最大可能轨道

4.1 引言

4.2 最大可能演化轨道的数值解法

4.3 结果分析

4.4 最大可能轨道发生“跳”的原因

5 FitzHugh-Nagumo 模型的``ghost分界线

5.1 引言

5.2 ``ghost分界线的在随机背景下的存在性

5.3 随机``ghost分界线

6 总结与展望

6.1 主要结论

6.2 研究展望

致 谢

参考文献

附录 1 攻读博士学位期间完成的论文