三维分段仿射系统奇异环的存在性

摘要

同宿轨或异宿环的存在性在混沌的研究中起着非常重要的作用，因为许多混沌现象都跟它们有关.例如，著名的Shil’nikov定理以及相关的一些结论表明，在一定条件下，同宿轨或异宿环的存在意味着马蹄的存在性.但是，在一个具体的系统中证明奇异环的存在性是很困难的，在这些定理中，都是假设它们的存在性来证明混沌的.对于分段仿射系统，它的稳定流形、不稳定流形和解比较容易得到，所以用解析方法来判定同宿轨或异宿环的存在性是可行的.本文主要在三维分段仿射系统中研究奇异环的存在性问题，具体包含如下的内容： 第一章主要介绍了奇异环的一些背景和研究现状，并简述了本文的主要工作. 第二章分别在几类具有单个切换面的三维分段仿射系统中讨论了同宿轨的存在性问题.当系统没有鞍焦型平衡点时，得到了一个存在同宿轨的非常简单的解析条件.但是，当两个平衡点都是鞍焦型时，要给出一个具体的解析条件却很困难.为此，通过一些额外的约束，得到了同宿轨存在的两个解析的充分条件.更进一步，如果还满足Shil’nikov型条件，系统将出现混沌行为.为了说明条件的有效性，构造了一些例子来进行检验. 第三章主要研究了几类具有两个切换面的三维分段仿射系统，它们都只有一个鞍焦型平衡点.利用解析方法得到了存在两个同宿轨的一些充分条件，并通过例子进行了说明. 第四章讨论了具有两个切换面的三维分段仿射系统中异宿环的存在性问题.针对三种不同的情形，分别给出了具有单个异宿环和同时具有两个异宿环的一些解析条件.并讨论了在适当的条件下，混沌的存在性.同样地，通过一些例子说明了结论的有效性. 第五章对全文工作进行了简要的总结，并给出了将来的研究计划.

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