再生核空间中微分方程两点边值问题的求解

摘要

微分方程起源于各种应用学科中，例如核物理、气体动力学、流体力学、边界层理论、非线性光学等。两点边值问题是微分方程中的一个重要内容，广泛地应用于数学、物理学、经济学和工程学等领域，其算法及理论的研究对推动这些高科技领域的发展非常重要。所谓两点边值问题就是给定微分方程的解在左右边界点上的值。在很多情况下，特别是非线性的时候很难得到问题的解析解，所以一般要寻求数值解法。能否得到适当精度和可靠的数值解在很大程度依赖所用的数值方法。精确度高、稳定性强、收敛性好、计算量少的算法显得尤为重要。本文在再生核空间中讨论微分方程两点边值问题。对于线性微分方程两点边值问题，主要利用再生核函数构造出再生核空间的完全规范正交系，将微分方程的解以级数形式精确的给出，并通过对精确解的级数表示进行截断，从而得到其近似解。方法的创新之处在于证明了近似解一致收敛到精确解，并且近似解的各阶导数均一致收敛到精确解的各阶导数。对于非线性微分方程两点边值问题，构造了一个迭代序列，证明了迭代序列是有界的，利用迭代序列构造近似解的表达形式。方法的特点在于对于任意给定的初值函数，近似解一致收敛到方程的精确解，并且近似解的各阶导数一致收敛到方程的精确解的各阶导数。给出了一些数值算例，并与已有的方法进行比较，数值实验的结果表明了本文所提方法的可行性和有效性。

目录

再生核空间中微分方程两点边值问题的求解

SOLVING TWO POINTS BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR DIFFERENTIAL EQUATIONS IN REPRODUCING KERNEL SPACE

摘 要

Abstract

第1章 绪论

1.1 课题来源及研究的目的和意义

1.2 国内外在该方向上的研究现状

1.3 再生核理论的产生和发展

1.4 本文研究的主要内容

第2章 再生核空间基本理论

2.1 引言

2.2 再生核空间的定义及基本性质

2.3 再生核空间的再生核函数

2.4 本章小结

第3章 线性微分方程两点边值问题的精确解

3.1 预备知识

3.2 算子方程（3-2）的解

3.3 数值算例

3.4 本章小结

第4章 非线性微分方程两点边值问题的近似解

4.1 预备知识

4.2 近似解的构造及其收敛性

4.3 数值算例

4.4 本章小结

结 论

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致 谢