关于一类非线性抛物方程弱解的研究

摘要

非线性抛物型偏微分方程的研究是偏微分方程领域的一类非常重要的课题.一方面，非线性抛物方程涉及的大量问题来自于物理、化学、生物等领域的数学模型，具有强烈的实际背景和重要的应用指导意义；另一方面，非线性抛物方程的理论研究给数学家们提出了许多挑战性的问题.因此，近二十多年来，愈来愈多的数学家，物理学家，生物学家和化学家等对非线性抛物方程的研究产生了浓厚的兴趣并且进行了深入地研究.
　　本文主要研究了一类具有p(x)增长条件的非线性抛物型方程弱解的问题.文中回顾了此类方程的发展过程，然后通过对Galerkin解的逼近和迭代方法，证明了此类方程弱解的存在性和局部有界性.主要工作如下：
　　首先，我们介绍了空间W1,xLp(x)(Q)，其中p(x)仅依赖于空间变量x，它可以看成是空间W1,p(x,t)(Q)的一种特殊情况.我们先给出了W1,xLp(x)(Q)→L1(0, T;W1,p(x)0(Ω))和W-1,xLq(x)(Q)→ L1(0, T;W-1,q(x)(Ω))的连续嵌入定理，然后证明了F包含于W1,xLp(x)(Q)在L1(Q)中的相对紧性定理.最后指出了在空间W1,xLp(x)(Q)中研究问题的可行性与必要性.
　　接着，在空间W1,xLp(x)(Q)中，我们研究了具有p(x)增长条件的非线性抛物方程，其中p(x)仅依赖于空间变量x.非线性部分为A(u)=-diva(x,t,u,▽u)+a0(x,t,u,▽u)，a(x,t,u,▽u)和a0(x,t,u,u)关于u和▽u满足p(x)增长条件，并且方程右端项f(x,t)∈W-1,xLq(x)(Q).我们给出了此类方程Galerkin解的存在性的证明；然后通过对Galerkin解的逼近证明了此方程弱解的存在性定理；最后举例说明了此定理的具体应用.
　　最后，在得到抛物方程弱解的存在性的基础上，我们对方程弱解的局部有界性进行了研究.当A满足上述结构条件时，我们知道齐次抛物方程的弱解是存在的.然后通过构造收敛序列，证明了此弱解的局部有界性.此时，p(x)满足p-＞max{1,2N/N+2}，其中p-= inf p(x)，并且指出当p(x)满足1＜p-≤ max{1,2N/N+2}时，此弱解是无界的，且给出了例子，最后我们对更一般的抛物方程弱解的局部有界性进行了简要的证明.
　　本文对具有p(x)增长条件的非线性抛物型方程的研究比对相应的具有常数p增长条件的非线性抛物型方程的研究更具有一般性，也在实际应用中起着更重大的作用.

目录

关于一类非线性抛物方程弱解的研究

The Research About the Weak Solutions of A Class of Nonlinear Parabolic Equations

摘 要

Abstract

目 录

Contents

第 1 章 绪论

1.1 课题背景和意义

1.2 一类抛物型偏微分方程解的研究现状

1.3 本文的主要工作

第 2 章 变指数空间

2.1 预备定理

2.2 Lp(x)()空间的基本理论

2.3 Wm,p(x)()与Wm,xLp(x)(Q)空间基本理论

2.4 相对紧性定理

2.5 本章小结

第 3 章 具有p(x)增长条件的抛物方程弱解的存在性

3.1 引言

3.2 弱解的存在性

3.3 本章小结

第 4 章 具有p(x)增长条件的抛物方程弱解的局部有界性

4.1 引言

4.2 弱解的局部有界性

4.3 本章小结

结 论

参考文献

攻读博士学位期间发表的学术论文

哈尔滨工业大学博士学位论文原创性声明

哈尔滨工业大学博士学位论文使用授权书

致 谢

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