随机比例微分方程解析解的稳定性和数值解的收敛性

摘要

随机延迟微分方程广泛地应用于生物学、经济学、控制论等诸多领域，在科学理论和生产实践中都起到非常重要的作用。由于随机延迟微分方程的显式解很难求出，在实际应用中通常用数值方法求解，研究数值方法的收敛性就显得尤为重要。稳定性是方程解的另一个重要性质，它反映了当初值、系数发生扰动时对方程的解的影响，因此，研究方程解的稳定性也具有非常重要的理论意义和应用价值。
　　随机比例微分方程是一类特殊的随机无界延迟微分方程，本文主要讨论了非线性随机比例微分方程数值解的收敛性和m维线性随机比例微分方程解析解的稳定性。
　　论文首先研究了非线性随机比例微分方程数值解的收敛性，将Milstein方法应用到非线性随机比例微分方程中，得到Milstein方法的数值格式，给出了数值格式收敛的充分条件，证明了在全局Lipschitz条件和线性增长条件下，应用于非线性随机比例微分方程的Milstein方法是均方收敛的。
　　其次论文研究了m维线性随机比例微分方程解析解的稳定性，分别讨论了方程解析解在均方意义下和几乎处处意义下的稳定性，给出了m维线性随机比例微分方程的解析解均方多项式稳定和几乎处处多项式稳定的充分条件。

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第1章 绪论

1.1 随机微分方程及其应用

1.2 国内外研究现状

1.2.1随机微分方程解的存在唯一性

1.2.2随机微分方程数值解的收敛性

1.2.3随机微分方程解析解的稳定性

1.3 本文的主要研究内容

第2章 预备知识

2.1概率论基本概念

2.2随机微分方程基本理论

2.2.1基本概念

2.2.2随机过程基本性质及不等式

2.3 随机比例微分方程

2.4 本章小结

第3章 非线性随机比例微分方程数值解的收敛性

3.1 引言

3.2 非线性随机比例微分方程Milstein方法的收敛性

3.3 本章小结

第4章 m维线性随机比例微分方程解析解的稳定性

4.1引言

4.2 m维线性随机比例微分方程解析解的均方多项式稳定

4.3 m维线性随机比例微分方程解析解的几乎处处多项式稳定

4.4 本章小结

结论

参考文献

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致谢