两类带有双源项的耦合反应扩散系统和两类带有动力边界条件的抛物方程的整体适定性

摘要

本文研究了两类带有非线性双源的耦合反应扩散系统和两类带有动力边界条件的抛物问题的适定性问题。
　　 本文首先研究了两类带有非线性双源的耦合反应扩散系统.该系统多应用于人口动力学，流体动力学，电子流，化学反应以及热的传播等领域.本部分的难点在于如何处理系统中两类特殊源项(幂次项与指数项的乘积)的叠加.利用比较原理和上下解方法，我们克服了复杂源项带来的影响，找到了源项指标和初值条件与解的整体存在，爆破性质之间的关系，丰富和完善了含有两个变量的反应扩散系统解的适定性理论体系。
　　 接下来，本文研究了两类带有动力边界条件的抛物方程.动力边界条件在许多数学模型中是很常见的，比如某个固体与相连的可移动液体中的热传导，在两种介质中的热传递过程和流体动力学问题等.方程中的动力边界条件使得解原有的空间性质(如不变集合等)发生了改变，原有的适定性研宄方法也不再完全适用.为了解决动力边界条件给方程适定性研究带来的困难，我们重新定义了解的泛函空间，细致地分析了Nehari流形的性质和解的不变集合性质.然后，利用位势井方法和凸性方法，我们得到了两类抛物问题的解在低初始能量和临界初始能量下整体存在和有限时间爆破的门槛条件.而当初值较大时，对于线性动力边界的情形，我们利用比较原理和变分方法得到了抛物问题的适定性；对于非线性动力边界的情形，我们大胆引入Sobolev嵌入常数估计值，并结合凸性方法，得到了方程的解的有限时间爆破.通过控制初值条件和非线性项的指数，我们揭示了动力边界的结构对问题整体适定性的影响，从而进一步的丰富和发展了位势井理论。