矩形网格上的二元二次样条函数的构造及应用

摘要

计算几何不仅在几何学上有重要的理论意义，而且在计算机辅助设计与制造、计算机图形学、图像处理及其他相关领域有重要的实用价值。它的基本理论工具和基础是样条。近年来，一元样条已经有了近乎完美的理论基础。相对于一元样条函数以及由此带来的曲线、曲面设计理论的成果，多元样条函数的理论成果及对曲面设计理论的成果有限。
　　由于网格划分的复杂性质和编制程序的复杂性，多元单纯形样条的应用还是很少的。但这些样条函数有非常吸引人的性质（局部支撑集性、非负的、最优整体光滑、高灵活性），所以值得严密地研究他们的适用性。本文尝试利用二元二次样条理论探讨在矩形网格上构造C1曲面的详细过程。本文的主要内容包括:
　　(1)第一部分主要介绍了作为几何对象的曲线、曲面所涉及的基本概念和基础问题。
　　(2)第二部分介绍了计算几何中一元样条函数以及由此带来的曲线、曲面设计理论的成果，如Bézier曲线曲面、B样条曲线曲面、有理Bézier曲线曲面与NURBS方法。
　　(3)第三部分介绍了多面体样条以及多元单纯形样条的定义和几何解释，给出了二元二阶样条函数递归公式。
　　(4)第四部分讨论了矩形域上的二元二阶样条函数的计算。
　　(5)第五部分通过二元二阶样条函数构造二次的分片C1多项式曲面，并研究它们的性质。
　　(6)最后我们用二元二阶样条函数生成了二次曲面实例，并进行误差分析。

目录

声明

摘要

引言

§1 与曲线、曲面有关的基本概念

§1．1 曲线曲面的表示方法

§1．2 插值与逼近

§1．3 曲线、曲面描述方法的发展

§2 曲线曲面

§2．1 Bézier曲线曲面

§2．2 B样条曲线曲面

§2．3 有理Bézier曲线曲面与NURBS方法

§3 预备知识

§3．1 多面体样条曲面定义

§3．2 多元单纯形样条

§4 均匀矩形网格样条函数计算

§4．1 控制点Pi在a、b节点间的二阶二元样条函数

§4．1．1 单纯形146ab上的二阶二元样条函数的计算

§4．1．2 单纯形691ab上的二阶二元样条函数的计算

§4．1．3 控制点Pi在a、b节点间的二阶二元样条函数的计算

§4．2 控制点Pj在a、8节点间的二阶二元样条函数

§4．2．1 a，8号节点和a，b号节点间的关系

§4．2．2 控制点Pj在a、8节点间的二阶二元样条函数计算

§4．3 二阶二元样条函数的性质

§5 二阶二元样条函数生成的曲面

§5．1 单位矩形网格上的曲面表达式计算

§5．1．1 M(u，v)支集上每个单位矩形网格的表达式及图像

§5．1．2 M(u，v)支集上单位矩形域上函数的平移(平移到矩形区域23ba上)

§5．1．3 N(u，v)支集上每个单位矩形网格的表达式及图像

§5．1．4 N(u，v)支集单位矩形上函数的平移(平移到矩形区域23ba上)

§5．1．5 单位矩形网格上曲面表达式计算

§5．2 单位矩形网格上曲面的性质研究

§5．3 单位矩形网格上曲面的有理表达式

§5．4 单位矩形网格上有理曲面光滑拼接

§5．4．1 小矩形域0a89上曲面的边界函数、偏导函数

§5．4．2 单位矩形网格上曲面的光滑拼接

§5．4．3 小矩形域23ba上曲面的边界函数、偏导函数

§5．5 单位矩形网格上有理曲面性质研究

§5．5．1 小矩形域23ba上曲面性质研究

§5．5．2 小矩形域0a89上曲面性质研究

§6 二阶二元样条函数生成曲面的例子

§6．1 二次曲面(z=x2+y2)的图像

§6．2 二次曲面(z=x2+y2)图像的误差分析

§7 总结

参考文献

致谢