打靶法则在一类高阶椭圆方程中的应用

摘要

文章主要利用新的打靶法则考虑了全空间上的Hardy-Sobolev类型的方程组{（-Δ）ku(x)=|x|α1uβ1(x)vγ1(x)，u(x)＞0，x∈Rn，（-Δ）kv(x)=|x|α2uβ2(x)vγ2(x)，v(x)＞0，x∈Rn，在临界和超临界条件n+α1/γ1+1+n+α2/β2+1+2k-n≤0下径向正解的存在性，其中k∈N，αj≥0，βj，γj＞0,j=1，2。
　　新的打靶法则是将传统的打靶法和拓扑度结合起来，用于处理全空间Rn上径向解的存在性问题。基本思想是把定义在全空间上的偏微分方程组与定义在球上的具有相同微分系统且具备Dirichlet边值条件的问题联系起来。
　　详细做法如下;
　　首先，构造目标映射。作为打靶法则的核心，目标映射将常微分方程的初值条件和某一时刻的解（可视为方程的另一边值条件）联系起来。利用拓扑度的基本性质，可以证明目标映射是连续且到上的。
　　然后，在一些较弱的假设下，可验证我们要研究的一类微分系统是非退化的。在加上传统的打靶法，就能建立全空间上径向正解存在性与局部Dirichlet边值问题的径向正解不存在性之间的等价性。
　　最后，利用Pohozaev恒等式，我们很容易得到在临界和超临界条件下，球上的Dirichlet边值问题在球内部没有径向正解。这样，就得到了想要的全局解的存在性。
　　同时，文章也考虑了Hardy-Sobolev方程组的数量形式，即{（-Δ）ku(x)=|x|αuβ(x)，u(x)＞0inRn，其中α≥0,β＞0。显然，这个特殊的Hardy-Sobolev方程组有全空间上的径向正解。除了径向正解的存在性，文章还研究了径向正解的能量有限性，或者说解在全空间上的某种可积性。利用经典的积分形式的移动平面法和Kelvin变换，我们得到了径向正解在无穷远处的准确行为，进而证明了与微分方程等价的积分方程的解在无穷远处具有想要的可积性，得出解是能量有限的。

目录

摘要

第一章 引言

第二章 预备知识

§2．1 打靶法

§2．2 打靶法则

第三章 打靶法则在一类高阶椭圆方程组中的应用

§3．1 全空间上径向正解的存在性

§3．2 Dirichlet问题解的不存在性

§3．3 临界条件下有限能量解的存在性

参考文献

致谢

攻读硕士学位期间发表或写作的学术论文

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