Heun方程、正交多项式和Toda链

摘要

为了研宄黑洞中微分方程解的性质，本文主要以椭圆函数为例，利用微分方程、正交多项式、三阶递推关系和Toda链之间的关系来得到特殊函数的解。
　　第一章简要介绍微分方程在数学物理中的应用。第二章介绍已知的 Fuchsian和 Heun方程的一些性质。第三章以椭圆函数为例，由椭圆函数与正交多项式之间的关系，得到椭圆函数的三阶递推关系式，进而化为谐振子方程，最后将复杂的微分方程求解转化为了简单的代数求解；再由每一个三阶递推关系式都对应一个半无穷Toda链，通过求解半无穷Toda链，最终得到微分方程解的结构可由其对应的三阶递推关系式解的结构来得到。将其运用到了黑洞中的Lam6方程和超几何方程，得到这两个特殊方程的简化式。

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第一章绪论

第二章 Heun方程

§2.1 Fuchsian方程

§2.2 Heun方程

第三章正交多项式、Toda链和Stieltjes函数

§ 3 .1 椭圆多项式和正交多项式

§3.2 Toda链、Stieltjes函数和 Riccati方程

§ 3 .3 三个特殊函数的递推关系

第四章附录

附录一超几何函数

附录二合流超几何函数

参考文献

致谢