极大代数上有限生成模的凸性

摘要

极大代数为解决离散数学问题提供了一种重要的代数方法.从极大代数提出以来，这一思想广泛应用于计算机、通信网络、机械制造、自动装置，以及图论和Petri网等很多问题中.极大代数的特殊结构赋予了这些问题线性代数的特征，进而将非线性模型转化为线性模型，从而简便地解决实际问题.
　　很多重要的数学概念可以在极大代数的意义下重新提出，并讨论其性质.例如，极大代数上的行列式、矩阵的特征值、线性独立等问题，已有很多学者做出了研究.但是由于极大代数不满足线性性质这一特征，很多问题较难解决，所以极大代数的理论发展比较缓慢.生成模是一个重要的数学概念，然而将模的问题放在极大代数中的研究还不是很多.BaccelliF等人研究了极大代数上的模即模双子.陈文德进一步给出了极大代数上有限生成模的概念，并讨论了极大代数上有限生成模的几何形态.
　　本文的主要工作是在前人工作的基础上，研究极大代数上有限生成模的凸性.本文共分为六章.
　　在第一章，介绍极大代数上有限生成模的研究背景和研究现状.
　　第二章主要对本文涉及到的基本概念和定理进行介绍，包括半域、准域、极大代数及凸集判别定理等，重点解析极大代数上有限生成模的概念.举例介绍极大代数上标量运算及矩阵间的运算.这些概念和定理为后面的章节提供了理论支撑.
　　第三章对极大代数上有限生成模的几何形态做进一步研究.依据K是准基的限制，给出n=3，m≥3时，极大代数上有限生成模的几何形态，指出模M仍是三维等增线集形成的棱柱体，但是4个极值点在x1=0内的截面由原来的10种形态减为3种，以减少对几何形态进一步分析的复杂程度.
　　第四章是本文的核心章节，基于极大代数上有限生成模的几何形态，运用代数与几何方法，研究空间维数n≤3和生成向量数m≥1的有限生成模的凸性.证明n=1，2的有限生成模是凸集.对于n=3，给出m=2的有限生成模为凸集的一个充分必要条件，以及m≥3的有限生成模为凸集的一个充分条件.
　　第五章研究另一种准域上的有限生成模的几何形态和凸性.首先给出非负实数代数准域的定义，然后分析非负实数代数上的有限生成模的几何形态和凸性，最后讨论非负实数代数上有限生成模与极大代数上有限生成模的几何形态在凸性上的异同，以说明极大代数非线性的特点.
　　最后一部分是第六章，总结本篇论文的主要结论，并提出有待进一步研究的问题.

目录

声明

摘要

1 引言

1．1 研究背景

1．2 研究现状

2 预备知识

2．1 半域与极大代数

2．2 准域

2．3 极大代数上的模和矩阵

2．4 凸集与凸性

3 D模M的几何形态

3．1 n≤2或m=1的几何形态

3．2 n≥3，m=2的几何形态

3．3 n≥3，m≥3的几何形态

4 D模M的凸性

4．1 n≤2，m≥1的凸性

4．2 n≥3，m=2的凸性

4．3 n=3，m≥3的凸性

5 R+上有限生成模

5．1 R+上有限生成模

5．2 R+上有限生成模的几何形态与凸性

5．3 R+上有限生成模与D模M比较

6 主要结论及进一步研究的问题

6．1 主要结论

6．2 有待研究的问题

参考文献

致谢

攻读学位期间接收和完成的论文