两类基于迭代的曲线造型方法研究

摘要

曲线曲面造型是计算机辅助几何设计的主要研究内容之一。数据拟合作为曲线曲面造型的一个重要工具，通过拟合任意有序数据创建拟合曲线曲面。从生成的拟合曲线曲面和原始几何数据的关系上进行划分，拟合的方式可分为插值型与逼近型。本文分别借助多步骤细分思想和三次NURBS曲线的PIA性质构造了两类拟合离散数据点列的曲线造型方法。
　　多步骤细分思想是将细分分为几个简单、局部化的过程对离散点进行细分。本文在六点多步骤细分方案的基础上，利用理查森外推法，并借助经典四点和六点细分模板，通过修改计算初始顶点的二阶导、计算新顶点的二阶导这两个步骤，构造了四种插值型多步骤细分方案。同经典六点细分方案相比，新构造的四种细分方案具有更高的H(o)lder连续性，且曲线的曲率分布更平滑。通过放松对拟合曲线的插值约束条件，又构造了一种带有形状参数的逼近型细分方案。当形状参数在特定范围内取值时，这种细分方案也能达到比六点经典细分方案更好的几何性质。
　　累加迭代逼近(PIA)技术将初始数据点作为控制点，通过迭代地调整初始控制顶点，生成一系列拟合精度越来越高的拟合曲线。如果极限曲线插值于初始控制顶点，则称曲线具有PIA性质。本文利用三次NURBS曲线的PIA性质，构造了向心参数化下的全局PIA算法，对离散数据点列进行累加迭代逼近。这种参数化将数据点相邻弦线的折拐情况考虑在内，在处理几何分布急剧变化的数据点列拟合问题上可以达到更好的逼近效果。为了更好地体现累加迭代逼近的局部性质，本文还构造出向心参数化下的局部PIA算法。首先，数据点列可以逐点地进行调整;其次，每个数据点的逼近精度都可以独立地进行控制。换句话说，我们可以对某些点在高精度要求下进行逼近，而对其他点在低精度要求下进行逼近。

目录

声明

摘要

1 绪论

1．1 研究背景

1．1．1 基于多步骤细分的曲线造型技术

1．1．2 基于累加迭代逼近的曲线造型技术

1．2 本文框架

2 六点细分方案的多步骤构造和分析

2．1 差商形式六点细分方案的多步骤构造

2．1．1 二阶差商形式六点细分方案的多步骤构造

2．1．2 四阶差商形式六点细分方案的多步骤构造

2．2 六点插值型细分方案的REP多步骤构造

2．2．1 四点模板REP二阶导多步骤构造

2．2．2 六点模板REP二阶导多步骤构造

2．2．3 四点模板REP四阶导多步骤构造

2．2．4 六点模板REP四阶导多步骤构造

2．3 放松的六点细分方案的构造和分析

2．3．1 基本理论

2．3．2 放松的六点细分方案

2．3．3 收敛性分析

2．3．4 连续性分析

2．4 数据实例及结果分析

2．5 本章小结

3 向心参数化下的PIA算法

3．1 向心参数化下的PIA算法

3．1．1 全局PIA算法实现

3．1．2 局部PIA算法实现

3．2 收敛性分析

3．3 数据实例及误差分析

3．4 本章小结

4 总结与展望

4．1 全文总结

4．2 研究展望

参考文献

致谢

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