高斯创立内蕴微分几何学的思想及影响

摘要

内蕴微分几何在微分几何的发展历史上具有举足轻重的地位.它的创立将欧氏几何推广到了曲面上“弯曲”的几何，成为黎曼提出黎曼几何的前奏.内蕴微分几何只关心几何对象依赖于曲面本身的性质，而不依赖于外围的空间.内蕴微分几何的创立者是德国数学家高斯.高斯从1816年起，在大地测量工作的基础上，于1827年发表了《曲面的一般理论研究》，在这篇论文中，他精辟地阐述了微分几何学的一系列全新的概念和定理，提出了“曲面本身就是一个空间”的伟大断言，从而一举建立了内蕴微分几何学，为微分几何学向高维的发展开拓了一个全新的领域.所以，对高斯内蕴微分几何思想的研究，不仅有利于深入挖掘高斯在曲面论方面的创新之处，而且能够找到现代微分几何的源头，为其后的发展提供历史依据.
　　鉴于此，本文在查阅、研读、分析了高斯1827年的原始文献的基础上，借以相关的历史研究文献，探索了高斯创立内蕴微分几何学的过程，系统分析了他的内蕴思想.从而对于内蕴微分几何学以及整个微分几何学的发展有了一个全面、深入的理解.主要结果如下:
　　1.全面概述了高斯创立内蕴微分几何之前，欧拉、蒙日等数学家在三维空间的曲面理论上所做的工作，指出他们的工作为高斯创立内蕴微分几何学奠定了基础.
　　2.系统研究了高斯创立内蕴微分几何学的过程及其内蕴思想.重点分析了高斯曲率等概念，总结了高斯的内蕴微分几何学的基本思想，明晰了这些思想在微分几何的后续发展中的深远意义.
　　3.深入分析了高斯内蕴微分几何思想的影响.点明了高斯的“绝妙定理”对19世纪中期微分几何学的中心问题—可贴合性问题的推动作用.最后深入剖析了黎曼是如何在高斯内蕴思想的影响下，开创黎曼几何的，进而更加明确了高斯内蕴微分几何的重要地位.

目录

声明

摘要

引言

第一章 高斯以前的曲面微分几何学

1．1 三维空间中的曲面理论

1．2 曲率—曲面的度量

第二章 高斯的内蕴微分几何学

2．1 高斯创立内蕴微分几何学的前期工作

2．1．1 大地测量学

2．1．2 哥本哈根获奖论文

2．2 高斯内蕴微分几何学的创立—1827年《曲面的一般理论研究》

2．2．1 1827年论文的内容简介与版本变迁

2．2．2 与1825年《曲面的新研究》之比较

2．3 高斯1827年论文中的内蕴微分几何学思想

2．3．1 高斯曲率

2．3．2 绝妙定理

2．3．3 其他内蕴思想

第三章 高斯内蕴微分几何学的影响

3．1 曲面的“可贴合性”问题

3．2 高维的推广—黎曼几何学

3．2．1 黎曼的空间观念

3．2．2 黎曼几何

结论

参考文献

后记