LupaşQ-Bézier曲线的几何特征研究

摘要

计算机辅助几何设计(CAGD)是伴随飞机、轮船和汽车制造等现代工业的发展而迅速产生的一门交叉型学科,主要用于自由型曲线曲面的造型与研究.经典Bézier曲线在CAGD中占有重要地位,为CAGD的进一步发展起到了推动作用.Lupa(s)q-Bézier曲线为一类含q-整数的广义Bézier曲线,具有几何不变性、仿射不变性和q-逆对称性等许多良好的性质.特殊的,当q=1时,Lupa(s)q-Bézier曲线退化为经典Bézier曲线.本文主要围绕Lupa(s)q-Bézier曲线与圆锥曲线及有理Bézier曲线的关系对其几何特征进行了深入研究,主要研究成果如下:
　　首先,研究了二次Lupa(s)q-Bézier曲线与圆锥曲线的关系.基于肩点和参数中点,分别讨论了二次Lupa(s)q-Bézier曲线所表示的圆锥曲线的类型,其中肩点和参数中点的空间位置分别反映了曲线的丰满程度和曲线上点的分布情况.反之,肩点和参数中点的空间位置可用于反求形状参数q,并确定该Lupa(s)q-Bézier曲线.特殊的,当q=1时,肩点与参数中点重合.然后根据二次Lupa(s)q-Bézier曲线对圆锥曲线的构造,可求得二次Lupa(s)q-Bézier曲线能构造所有的抛物线弧和双曲线弧.进一步通过引入局部坐标系分析并求解出二次Lupa(s)q-Bézier曲线所表示圆锥曲线的焦点、顶点、中心等几何参数.
　　其次,讨论了Lupa(s)q-Bézier曲线、有理Bézier曲线和加权Lupa(s) q-Bézier曲线的几何关系.基于Lupa(s)q-模拟Bernstein基函数与有理Bernstein基函数的关系,推导出Lupa(s)q-Bézier曲线与有理Bézier曲线的几何关系,延续这种思想继续讨论加权Lupa(s) q-Bézier曲线与有理Bézier曲线的几何关系,最终从空间集合的角度分析了Lupa(s)q-Bézier曲线、加权Lupa(s)q-Bézier曲线以及有理Bézier曲线间的关系.并对含不同形状参数q的两条加权Lupa(s)q-Bézier曲线表示同一条曲线时的情况进行了讨论.
　　最后,给出Lupa(s)q-Bézier曲线的一种新型de Casteljau算法及其在细分方面的应用.基于肩点的推导过程得到Lupa(s)q-Bézier曲线的一种新型de Casteljau算法,且运用该算法得到的点为切点.进而将该算法用于曲线细分,给出曲线细分后子曲线段上形状参数的计算公式.然后对二次Lupa(s)q-Bézier曲线分别在参数中点和肩点处进行细分,并从迭代形式和收敛速度两方面进行了比较,得出肩点处的细分更具有优势.最终根据新型de Casteljau算法的可细分性给出一种计算二次Lupa(s)q-Bézier曲线近似弧长的方法,并通过理论证明和数值实验验证了该算法的可行性.

目录

声明

摘要

引言

0．1 经典Bézier曲线和有理Bszier曲线

0．2 含参数q的广义Bernstein算子和广义Bézier曲线

0．3 本文主要框架

第一章 预备知识

第二章 二次Lupa(s) q-Bézier曲线与圆锥曲线的关系

2．1 二次Lupa(s) q-Bézier曲线所表示圆锥曲线的分类

2．2 抛物线弧和双曲线弧的构造

2．3 二次Lupa(s) q-Bézier曲线所表示圆锥曲线的几何参数

第三章 Lupa(s) q-Bézier曲线与有理Bézier曲线的几何关系

3．1 Lupa(s) q-Bézier曲线与有理Bézier曲线的几何关系

3．2 加权Lupa(s) q-Bézier曲线与有理Bézier曲线的几何关系

第四章 Lupa(s) q-Bézier曲线的新型de Casteljau算法及其应用

4．1 Lupa(s) q-Bézier曲线的新型de Causteljau算法

4．2 新型de Casteljau算法的应用

4．2．1 二次Lupa(s) q-Bézier曲线的细分

4．2．2 二次Lupa(s) q-Bézier曲线的近似弧长

结论

参考文献

后记

攻读学位期间取得的科研成果清单