常微分方程定性理论中的中心焦点及相关问题

摘要

本篇博士论文旨在研究中心焦点问题及相关问题.多项式微分系统极限环个数问题，即Hilbert第十六问题的后半部分，是常微分方程定性理论研究中最困难的核心问题.微分动力系统在原点附近极限环个数的研究，主要难点归结为中心焦点问题.这一问题和多项式微分系统的稳定性研究有着密切的关系. 在中心焦点判定方面：对于普遍形式的解析系统，论文利用后继函数法给出焦点量递推公式；同时改进了形式级数法，以计算和约化焦点量或鞍点量.论文还基于吴文俊特征列法，提出了中心条件推导的间接性方法，为发现新的中心条件提供了有效的手段.作为算例，推导了三次系统和五次系统时间可逆的充要条件，还推导了一类三次系统解析可逆的系数条件.对于一类Z2等变退化三次系统，给出双中心共存的充要条件，并且从两个对称五阶细焦点附近构造出10个小振幅极限环. 当中心邻域闭轨的周期函数为常数时，系统具有等时中心.等时中心不但与极限环分支有着密切的联系，而且在日常生活和技术领域都有重要的应用.为此，论文研究了两类可逆三次系统等时中心条件；给出了一类时间可逆四次系统的等时中心充要条件；研究了时间可逆系统的等时中心充要条件，并且给出了一个等时中心或细焦点的充分条件. 论文还运用定性分析方法、代数方程判别系统理论和结式方法，研究了一类具有星状结点的四次系统的拓扑结构和代数分类. 一直以来，高阶退化分支是弱化Hilbert第十六问题研究中的薄弱环节，而Melnikov函数决定同宿环或异宿环经小扰动破裂后分界线的相互位置，是处理弱化Hilbert第十六问题有效手段.为了研究Hamilton系统的高阶退化扰动，有必要计算高阶Melnikov函数. 为此，论文最后讨论了Bogdanov-Taken系统的一类三次扰动dx/dt=y+∈f1(x，y)，dy/dt=-x+x2十∈f2(x，y)，这里f1(x，y)=a0x+a1y+b0x2+b1xy+b2y2，f2(x，y)=c0x+c1y+d0x2+d1xy+d2y2+e0x3+e1x2y+e2xy2+e3y3，∈为小参数.通过计算各阶Melnikov函数得到：Melnikov函数阶数的上确界为6，即系统可积的充要条件是前六阶Melnikov函数恒为零.

目录

文摘

英文文摘

第一章综述

第二章中心焦点问题

第三章等时中心问题

第四章一类具有星形结点的四次系统的分类

第五章Bogdanov-Taken系统的一类三次扰动

参考文献

博士期间发表和完成的论文

致谢

论文原创性声明