Sobolev-Hardy空间中渐近线性椭圆方程正解的存在性和多解性

摘要

本文主要是在新空间H<,0,K><'1>(Ω)中讨论问题的，H<,0,K><'1>(Ω)空间是在Hardy不等式改进的基础上建立起来的，它是C<,0><'∞>(Q)以改进的Hardy不等式形式为范数得到的完备化空间．本文在H<,0,K><'1>(Ω)中主要讨论了三个问题，作者以循序渐进的方法，先讨论没有扰动项的渐近线性椭圆方程的正解的存在性，接着讨论带有扰动项的渐近线性椭圆方程的多解性，最后讨论一种特殊情况即带有扰动项的线性椭圆方程的正解的存在性与不存在性． 当方程为没有扰动项的渐近线性时，方程不满足(AR)条件，为此我们运用一种山路引理的变形证明了方程至少存在一个非负解．因为Ω为有界区域而且f|(x,u)是次临界增长的，利用Sobolev紧嵌入定理及标准的方法可知：如果{u<,n>}在明H<,0,K><'1>(Ω)空间中有界，则必有{u<,n>}的某个子列强收敛到泛函的一个临界点，从而我们的结论得证．因此我们只需证明{u<,n>}在H<,0,K><'1>(Ω)空间中有界，为此我们采用了反证法。 当方程为带有扰动项的渐近线性时，由方程中扰动项的出现，我们首先用Ekeland变分原理证明了局部极小解u<,1>的存在性，且I(u<,1>)的存在性，且I(U<,2>)>O，也就是说我们证明了方程至少有两个解u<,1>，u<,2>，且I(u<,1>)<0)。 本文最后讨论了一种特殊情况，即带有扰动项的线性椭圆方程，针对本文定义的λ<,1>与1的大小关系，我们运用Ekeland变分原理和一种山路引理的变形证明了方程正解的存在性，用反证法证明了正解的不存在性．

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文摘

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第一章绪论

第二章H10,k(Ω)中渐近线性椭圆方程正解的存在性

第三章带有扰动项的渐近线性椭圆方程的多解性

第四章带扰动项的线性椭圆方程正解的存在性与不存在性

总结

参考文献

攻读学位期间发表的与学位论文内容相关的学术论文

致谢