最优化分数阶信号分析及其应用

摘要

当前如何在复杂的信号环境中，通过有效的信号分析方法对复杂信息进行数学表征与分析，以期提取更多有用信息，成为提升信息系统性能的关键问题。对于复杂信息的处理，采用传统的信号分析方法往往性能不佳，而某些分数阶信号分析方法则有可能解决这些问题。近年来分数阶信号分析受到广泛关注，成为现代信号分析与处理中的研究热点，其中分数阶Fourier分析及与其紧密联系的分数阶微积分在信号分析与处理中的应用最受关注。本文主要对分数阶Fourier分析的关键基础问题进行研究，并延伸研究包含有分数阶微分的分数阶滤波器设计问题。同时，由于分数阶信号分析中存在着自由的分数阶变量和其他参数，本文将利用最优化方法对其进行优化设计，从而使系统性能达到最佳。具体研究工作包括:
　　1.提出分数阶Fourier分析压缩感知磁共振成像(CS-MRI)技术框架。CS-MRI对于加快成像速度和提高成像质量具有显著优势，但传统Fourier分析CS-MRI的欠采样Fourier测量矩阵和稀疏矩阵往往具有一定程度的相干性，在成像过程中会出现伪影。同时，传统Fourier编码使得信号能量主要集中在后空间中心区域的低频处，限制了欠采样模式的随机性，进一步加剧了欠采样测量矩阵和稀疏矩阵的相干性程度，影响了重建图像的质量。本文基于扩展频谱的CS-MRI思想，根据分数阶Fourier变换和Fourier变换的关系，建立分数阶Fourier变换和MRI的本质联系，并通过分数阶Fourier变换表征磁共振信号，然后基于分数阶Fourier谱实现CS-MRI。实验结果表明，相对于Fourier分析CS-MRI，表征磁共振信号的分数阶Fourier谱要比频谱扩展，信号能量在分数阶Fourier域分布分散。由此可以采用高斯随机欠采样矩阵作为测量矩阵，以满足CS理论对欠采样测量矩阵和稀疏矩阵非相干性的要求，从而在高欠采样比下获得更多用于图像重建的信息。并且可以选择合适的分数阶Fourier变换阶次，在最佳的分数阶Fourier域实现图像重建。图像重建结果显示在不同欠采样比下，高斯随机采样的分数阶Fourier分析CS-MRI重建图像的质量要高于变密度螺旋(Spiral)轨迹采样、发射状(Radial)轨迹采样和高斯随机采样的Fourier分析CS-MRI重建图像的质量。
　　2.针对分数阶Fourier域串联二级掩膜运算，提出全局最优化设计串联二级掩膜算子。分数阶Fourier域掩膜运算是传统Fourier域滤波的推广，相对于分数阶Fourier域的单阶掩膜运算，在信号恢复应用中，串联二级掩膜运算可以获得更好的系统性能，但目前仍未见全局最优化设计两个掩膜算子的方案。为提高系统性能，本文提出在预先选定的两个不同分数阶Fourier域，全局最优化联合设计两个掩膜算子。首先基于最小均方误差准则，将串联二级掩膜算子的设计问题构造为一个不需要知道系统畸变模型和噪声统计特性的非凸优化问题;然后通过矩阵运算简化目标函数，并借助辅助函数，即利用一种修正填充函数方法来寻找该优化问题的全局最优解;最后将优化设计的串联二级掩膜运算系统应用于信号恢复。实验表明，相对于传统迭代方法设计的串联二级掩膜算子，通过全局最优化设计的串联二级掩膜算子可以得到更好的滤波效果。
　　3.针对分数阶Fourier域并联多通道掩膜运算，首次提出最优化联合设计分数阶Fourier变换和掩膜算子。并联多通道掩膜运算在信号分离中具有重要实际意义，在目前已有研究中各通道的分数阶Fourier变换阶次是在取值范围内均匀分布的，因而相应的掩膜算子不是最优的。本文首先将设计问题构造为一个不需要知道系统畸变模型和噪声先验知识的非凸优化问题，然后使用一种迭代算法来求解该优化问题。在迭代过程中，利用一种梯度下降法和模拟退火相结合的混合下降算法寻找分数阶Fourier变换旋转角度的最优解，同时通过矩阵运算，解析地构造出相应的最优掩膜算子。最后通过实验验证了提出方法的可行性和有效性。
　　4.提出最优化设计一种连续时间IIR分数阶滤波器。随着分数阶Fourier分析理论与方法的不断发展，基于分数阶Fourier变换或分数阶思想延伸出了许多其他有关分数阶信号分析及其应用的研究，其中分数阶微积分在信号处理中的应用最受关注。鉴于分数阶微积分在滤波技术中的应用前景，本文提出由一组分数阶Gammatone元构造连续时间IIR无理滤波器。由于该滤波器的频率响应中包含有分数阶微分，其设计问题是一个非光滑非凸的无限约束优化问题，寻找这类优化问题的最优解往往需要相当大的计算量。本文首先将该优化问题转化为一个近似的光滑非凸的有限约束优化问题;然后利用模松弛序列二次规划方法求取局部极小值，并通过给局部极小值点增加随机扰动的方式，求取近似全局最优解;最后将所设计的分数阶滤波器应用于信号去噪，并与其他类型的滤波器和设计方法进行比较。实验表明，通过提出方法设计的滤波器的信噪比要比采用传统梯度下降法和遗传算法设计的滤波器的信噪比高，且需要的计算量小。同时，由分数阶Gammatone元构成的滤波器具有较好的频率选择性，适合于窄带滤波应用场合，其性能要优于由整数阶Gammatone元构成的滤波器和传统连续时间有理滤波器（椭圆滤波器、巴特沃斯滤波器、切比雪夫Ⅰ型滤波器和切比雪夫Ⅱ型滤波器）。
　　综上所述，本文基于分数阶Fourier分析及其延伸的若干问题，结合最优化方法展开研究，这是一项很有意义的、信息科学与数理科学交叉性创新研究。本文研究内容明确、具体，相信对于发现特性和规律，并解决实际应用问题具有重要意义。

目录

摘要

第一章 绪论

1．1 研究背景和研究现状分析

1．2 研究内容

1．3 论文结构

第二章 分数阶算子及最优化理论

2．1 分数阶算子

2．1．1 分数阶Fourier算子

2．1．2 分数阶微分算子

2．1．3 分数阶Fourier算子和分数阶微分算子联系

2．2 最优化理论介绍

2．2．1 最优化问题

2．2．2 最优化方法

2．3 本章小结

第三章 分数阶Fourier分析压缩感知磁共振成像

3．1 分数阶Fourier变换表征磁共振信号

3．2 基于分数阶Fourier变换的压缩感知磁共振成像

3．3 分数阶Fourier谱采样的图像重建

3．3．1 实验设置

3．3．2 Shepp Logan Phantom图像重建

3．3．3 Brain Phantom图像重建

3．4 本章小结

第四章 分数阶Fourier域最优化串联二级掩膜运算

4．1 分数阶Fourier域单阶掩膜运算

4．2 分数阶Fourier域串联二级掩膜运算

4．3 填充函数方法

4．4 全局最优化设计串联二级掩膜算子

4．4．1 问题描述

4．4．2 矩阵分析与问题转化

4．4．3 问题求解

4．5 实验与性能分析

4．6 本章小结

第五章 分数阶Fourier域最优化并联多通道掩膜运算

5．1 分数阶Fourier域并联多通道掩膜运算

5．2 最优化联合设计分数阶Fourier变换和掩膜算子

5．2．2 最优化掩膜算子设计

5．2．3 最优化分数阶Fourier变换旋转角度设计

5．3 实验与性能分析

5．4 本章小结

第六章 最优化连续时间分数阶滤波器设计

6．1 滤波器结构和问题描述

6．2 问题求解

6．3 实验与性能分析

6．3．1 实验设置

6．3．2 分数阶Gammatone滤波器和整数阶Gammatone滤波器比较

6．3．3 分数阶Garmnatone滤波器和传统连续时间有理滤波器比较

6．3．4 分数阶Gamlnatone元和整数阶Ganmlatone元构成的滤波器比较

6．4 本章小结

结论与展望

参考文献

攻读学位期间取得的成果

声明

致谢

附录