古德曼函数及其在解非线性方程中的应用

摘要

随着对自然界中各种复杂现象研究的深入，人们认识到自然界不都是线性与简单的统一，线性关系已经不能完全处理人类生产活动中遇到的问题。如此同时，非线性的概念和方法已经开始向科学技术的各个领域渗透；对非线性问题进行深入研究显得非常必要。非线性问题的研究不仅对自然科学意义重大，而且对社会科学、哲学也具有重要的意义。要对非线性问题理论化、系统化研究将涉及到非线性方程的求解，本文研究古德曼函数的目的就是为了能更好地求解非线性方程做准备。
　　本文用三部分介绍古德曼函数及其应用：
　　第一部分：叙述了非线性物理的背景和典型的非线性现象、方程，为研究古德曼函数及其应用做铺垫。
　　第二部分：介绍古德曼以及古德曼函数的公式、恒等式，反函数，余函数以及它们的图像、特点、性质等。
　　第三部分：在最小二乘法的思想基础上，用半解析方法，构造非线性演化方程的古德曼函数解；并验证它的准确性和可行性。
　　通过以上的研究工作，我们发现，利用古德曼函数给出的非线性演化方程的解析解与准确解吻合的很好，充分显示了古德曼函数对求解非线性方程的实用性和有效性，达到了预期效果。另外，理论上，能够用双曲函数表示的非线性方程的解都可以转换为古德曼函数表示，并且从文中列出几例用古德曼函数表示的非线性方程的解来看，用古德曼函数表示扭结孤立子波在形式上更简洁。

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西北师范大学研究生学位论文作者信息

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第一章 绪论

1.1 研究非线性物理的必要性

1.1.1混沌

1.1.2分形

1.1.3孤立子

1.2非线性方程

1.2.1 非线性常微分方程

1.2.2非线性偏微分方程[60-63]

1.2.3 非线性差分方程[64-66]

1.2.4 函数方程[67-70]

第二章 古德曼及古德曼函数

2.1古德曼

2.2古德曼函数

2.2.1古德曼函数

2.2.2 双曲函数

第三章 古德曼函数的应用

3.1利用古德曼函数求解非线性演化方程的孤立波解

3.1.1 最小二乘法[100-103]

3.1.2构造古德曼函数解

3.1.3求解Burge rs方程的冲击波解

3.1.4 KdV方程的孤立子解

3.1.5 本节小结

3.2能用古德曼函数表示解的几例非线性方程

3.2.1无阻尼的单摆运动方程

3.2.2 B o u ssin esq方程

3.2.3 Schrodinger方程势能的孤立子解

总结与展望

参考文献

攻读学位期间的研究成果

致谢