酗酒问题数学模型的稳定性及其最优控制研究

摘要

随着人类社会经济的快速发展，人们的生活、工作与精神等压力亦空前高涨，导致各类社会问题层出不穷，其中酗酒现象和由此导致的相关社会问题尤为突出。在医学上，酗酒已经被世界卫生组织等权威机构认定为慢性社会传染病。基于社会酗酒现状与医学假设，一方面，本文将从传染病角度，利用人口仓室理论建立适应于不同环境的数学模型，对酗酒现象进行定性与稳定性分析，从而对酗酒行为进行预测；另一方面，本文将采用预防、媒体宣传、药物治疗、政策导向等手段对酗酒行为进行控制，并利用最优控制理论研究酗酒的最优控制策略。围绕这两个基本议题，本文系统地研究了以下内容：
　　一、建立了具有标准接触感染率的四维SATQ型酗酒-戒酒模型，并加入预防与治疗等两种控制措施。这一模型将人口分成疑似酗酒的健康者仓室S(t)、酗酒者仓室A(t)、治疗者仓室T(t)与戒酒者仓室Q(t)四类，较之已有的SAQ型酗酒-戒酒模型更为客观细致，是本文后续所建模型的基础。首先证明无酒平衡点与内部酗酒平衡点的存在性与正性；继而，求出酗酒基本再生数，并藉此运用比较原理在适当条件下证明了无酒平衡点的局部与全局稳定性；接着，构造适当的李雅普诺夫函数证明酗酒平衡点的全局渐近稳定性；最后，提出目标泛函，进一步考虑酗酒的最优控制问题。解决了最优控制存在性、唯一性的问题，并给出了最优控制的显性表达式。研究表明，最优控制综合效果好于全控制、半控制与单控制等其他控制形式，而单一的治疗效果优于单一的预防效果，这些结论与事实基本相符。
　　二、引进抽象的接触感染率函数与酗酒接触感染的分布时滞，本文提出一般的四维SATQ型确定性时滞酗酒-戒酒模型，将之前的模型进行了推广。在对接触感染率函数的合理假设之下，讨论内部酗酒平衡点的存在性，给出酗酒基本再生数的表达式。由于模型的抽象性与分布时滞的存在，给平衡点稳定性研究带来了较大困难。本文运用HuangT akeuchi方法构造李雅普诺夫函数，证明两类平衡点的全局渐近稳定性。基于所建立的模型以及控制措施，本文提出兼顾控酒效果与控酒成本的双效目标泛函，并运用时滞最优控制理论与方法证明了最优控制的存在性，得出最优控制的数学表征。研究表明，在所给的条件下，时滞并不会破坏平衡点的稳定性，即模型是绝对稳定的。然而，时滞会对最优控制产生影响，时滞越大，控制效果越差。
　　三、建立了酗酒与HIV病毒感染传播交互影响的具有多种控制策略的五维复杂动力学模型。证明了该模型解的存在性、正性、有界性等一般性质。并运用变量分类法证明了HIV无病平衡点的全局稳定性，表明在必要条件下，即使在酗酒环境中HIV病毒最终也能灭绝。考虑对酗酒人群治疗、对疑似酗酒人群预防、对HIV疑似人群宣传教育等三种控制措施，并提出具有折扣效应的目标泛函，研究最优控制相关问题，得到了最优控制实施策略，并使之满足双效控制目标。对模型参数敏感性的分析表明，酗酒对HIV病毒的感染传播有推波助澜的促进作用。
　　四、考虑到酗酒环境的多样性与酗酒者行为习惯等个体差异对酗酒接触感染率的影响，以及酗酒对人口死亡率的影响，本文先后建立单因素扰动与多因素扰动随机酗酒模型。基于随机模型，首先研究模型解的存在性、正性与非爆破性。进而，与对应的确定性模型比较，在适当的条件下，证明随机模型解的均值渐近稳定性与遍历性等行为性质。在多因素模型平衡点随机行为的研究中，由于扰动项的非线性性，导致在证明过程中产生很多高阶矩等非线性项，难以判断其符号。本文采用构造多个子函数的方法，以进行线性组合的方式巧妙地消除了交叉项。研究结果表明，一方面，当不存在外界扰动时，确定性系统的解是有界的，但扰动系统的解却是遍历的(无界的);另一方面，系统扰动强度越大，酗酒人口消亡越快，即从某种意义而言，扰动有助于控制酗酒行为。

目录

声明

第1章 绪论

1.1 研究背景

1.2 研究进展

1.3 预备知识

第2章 一类SATQ型戒酒模型的稳定性与最优控制策略

2.1 引言

2.2 酗酒模型与基本性质

2.3 基本再生数与酗酒平衡点的存在性

2.4 平衡点的稳定性分析

2.5 戒酒最优控制相关问题

2.6 数值模拟

2.7 结论

第3章 具有一般感染率与分布时滞的酗酒模型稳定性分析与最优控制

3.1 引言

3.2 预备知识

3.3 无酒平衡点的全局渐近稳定性

3.4 内部酗酒平衡点的全局渐近稳定性

3.5 特殊情形的时滞最优控制

3.6 最优化系统的数值模拟

3.7 结论

第4章 酗酒与HIV交互影响的动力学分析

4.1 引言

4.2 酗酒与HIV病毒交互影响的数学模型

4.3 平衡点分析

4.4 平衡点的稳定性

4.5 最优控制问题

4.6 最优化数值模拟

4.7 结论

第5章 单因素随机影响下的酗酒动力学模型及其分析

5.1 引言

5.2 随机酗酒模型

5.3 随机系统解的存在唯一性与正性

5.4 酗酒的灭绝性

5.5 酗酒的持久性

5.6 随机系统的数值模拟

5.7 结论

第6章 多因素随机扰动下的酗酒模型动力学分析

6.1 引言

6.2 预备知识

6.3 随机系统正解的存在唯一性

6.4 酗酒的灭绝性

6.5 酗酒的持续性

6.6 数值模拟

6.7 结论

结论与展望

1. 本文的主要结论

2. 进一步的研究内容

参考文献

致谢

附 录 A

附 录 B