分数阶的级数展开、矢量运算及分数阶数理方程

摘要

在这篇论文里，我们首先简单介绍了分数阶微积分。微积分推广到分数阶有很多种方法，因而分数阶微积分非常繁杂。一阶微积分的许多性质在分数阶微积分中都不再成立。但是，在分数阶微积分中，和微积分基本定理相似的一个定理，分数阶微积分基本定理，成立。更明确地说，就是，黎曼-刘维尔分数阶积分和卡普托分数阶导数互为逆运算。通过这一点，我们定义了分数阶的泰勒展开。我们把超几何方程推广到分数阶，并通过分数阶泰勒展开求解，得到了分数阶的超几何级数。
　　 在这篇论文里，我们还讨论了分数阶矢量运算。在笛卡儿坐标系里进行分数阶矢量运算非常繁琐。我们注意到，分数阶积分和求导的定义使得在球坐标系里的分数阶矢量运算非常简单。而且球坐标更自然地适用于点源过程的描述。我们在球坐标系里定义了分数阶矢量运算，进而讨论了，与矢量运算相关的一些数学物理方程。我们用分数阶级数展开的方法求解了3维球对称空间里的分数阶拉普拉斯方程和2维柱对称空间里的热传导方程，分别得到了分数阶的勒让德函数和分数阶的贝塞尔函数。

目录

文摘

英文文摘

声明

第一章 引言

第二章 分数阶微积分

§2.1定义和基本性质

§2.2分数阶微积分基本定理

第三章 定义分数阶泰勒展开和分数阶超几何函数

§3.1分数阶泰勒展开的定义和简单例子

§3.2分数阶超几何函数

第四章 球坐标下定义分数阶矢量运算，及分数阶数理方程

§4.1球坐标下定义分数阶矢量运算

§4.1.1球坐标

§4.1.2柱坐标

§4.2分数阶球函数-拉普拉斯方程

§4.3分数阶柱函数-二维热传导方程

第五章 总结和展望

参考文献

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