梳子结构上的反常扩散以及多反常态粒子轨迹和泛函分布的建模

摘要

本文对梳子结构上的反常扩散以及多反常态粒子轨迹和泛函分布的建模进行了研究。本研究分为五个部分：第一章主要介绍了梳子结构上的反常扩散以及分布阶扩散方程发展历史和讨论的背景，同时给出了一些基础结论以及别人已有的研究成果。第二章主要讨论了梳子结构上的分数阶反常扩散过程，分析了在“锯齿”上是时间分数阶，在“支架”上分别是时间分数阶，时间回火分数阶，空间分数阶的情形，将梳子结构和连续时间随机行走模型统一了起来，并通过连续时间行走得到梳子结构的一些性质。第三章介绍了时间回火粒子轨迹所满足的分布阶扩散方程，这一章里首先通过随机表示得到了多重回火时间分数阶方程，并分析了相应的二阶矩，四阶矩。第四章通过随机表示得到了反常扩散粒子轨迹泛函分布所满足的方程，称其为分布阶的Feynman-Kac方程，并通过Feynman-Kac方程得到了一些性质。第五章总结了本文的主要的一些结论，同时对于这类问题的展望，以及本文的一些不足之处。

目录

封面

声明

中文摘要

英文摘要

目录

第一章 引言

§1.1 梳子结构背景以及研究现状

§1.2 分布阶分数扩散方程的背景以及研究现状

第二章 梳子网格中的分数阶扩散

§2.1 沿“支架”方向时间分数阶扩散

§2.2 沿“支架”方向进行回火时间分数阶扩散

§2.3 沿“支架”方向进行空间分数阶扩散

§2.4 梳子结构与CTRW模型

第三章 回火分布阶扩散方程

§3.1 回火分布阶扩散方程的导出

§3.2 回火分布阶扩散方程的二阶矩，四阶矩

第四章 分布阶扩散的Feynman–Kac方程

§4.1 分布阶扩散的Feynman–Kac方程导出

§4.2 对分布阶Feynman–Kac方程的应用

§4.2.1 随机行走轨迹下方面积

§4.2.2 当U(χ)=χk时泛函的矩

第五章 结论与展望

附录一 Fox-H函数

附录二 三个参数的Mittag-Leffler函数

致谢

参考文献