反常扩散:分数阶导数建模及其在环境流动中的应用

摘要

反常扩散是指不能由统计物理的标准方法来描述的一类非平衡过程,有时也可简单理解为不符合Fick第二定律的扩散过程.虽然反常扩散研究已有较长历史,但早期集中在统计物理领域,从20世纪80年代开始分数阶导数扩散方程模型的理论研究逐渐起步,近10年来分数阶扩散模型已逐渐成为环境流体力学多个领域的研究热点.分数阶导数的记忆性,使它能够准确地刻画反常扩散的历史依赖性和非局域性,进而描述溶质浓度穿透曲线的拖尾现象和非高斯分布特征.分数阶微积分数学物理理论的发展促进了反常扩散的理论和应用研究,分数阶导数为时间和空间依赖扩散和多尺度溶质迁移过程等复杂物理过程描述提供了新的建模工具.反常扩散研究也完善和丰富了分数阶微积分理论,复杂介质中反常扩散过程的建模和机理分析的需求使得分数阶微积分理论(如分数阶拉普拉斯算子、分布阶导数和变导数等)日臻完善.近年来分数阶扩散方程模型研究越来越受到关注,研究前沿逐渐从模型理论分析转到工程应用,数值算法研究的进展也加速了这一进程.