20世纪数学三大学派之争与数学思想的进步

摘要

本文主要讨论20世纪数学三大学派的争论对数学思想进步的影响，这是一个具有重要理论意义的研究课题。数学的发展到20世纪初累积了一系列数学难题，包括算术的相容性问题、集合论的悖论问题以及选择公理的使用和争议问题等。与这些数学问题相关的是认识论上的分歧，这些分歧围绕着:数学的牢靠基础在哪里？什么是数学中的存在？该不该接受实无限概念与超限数理论？数学严密化有没有限度？数学中使用的经典逻辑能不能拓展到无限领域等，正是对这些问题观点上的分歧最后引发了白热化的争议，使数学的阵营产生了对立的三大学派。以罗素为代表的逻辑主义学派强调将数学化归为逻辑，以布劳威尔为代表的直觉主义学派坚持直觉构造性数学的唯一合法性，以希尔伯特为代表的形式主义学派强调数学的形式化以及形式系统的无矛盾性证明。这三大学派的争论不仅是哲学观上的分歧，更是关涉逻辑与数学发展方向的争执。他们的争论是数学史、数学思想史、数理逻辑史以及数学哲学史研究的大事。
　　数学三大学派的争论促进了20世纪数学思想的发展。他们的争论揭示了数学与逻辑之间更为紧密的联系，加深了对数学与逻辑本质的理解。他们的争论提供了一种新的眼界和视角，亦即可以站在系统外来考察数学的视角，他们争论的结果显现出了数学结构和方法的统一性，促进了公理化研究方法以及结构数学思想的发展。他们的争论深化了人们对数学无限本质的理解，促进了关于无限的科学的发展。此外，对数学的能行性和可构造性的强调，切合计算机时代的要求，促进了构造性数学的复兴以及构造性与非构造性数学的统一，也推动了计算与证明的深层结合。
　　本论文共分为六章和绪论。绪论对数学和数学思想的相关概念进行了界定，并对与本论文有关的研究现状作了概述。第一章主要研究了数学三大学派争论的缘起和三大学派的基本观点与分歧点。第二章对数学三大学派争论的实质进行了概括。数学三大学派的争论是关于数学牢靠性在哪里的争论，是关于解决集合论悖论方案的争论，也是关于数学统一于什么的争论。数学三大学派的争论反映了数学的抽象性与现实性的矛盾，反映了数学中实用主义与柏拉图主义观点的矛盾。第三章阐述了数学三大学派争论过程对数学思想发展的影响，主要围绕数学与逻辑的关系、数学无限问题以及数学的可构造性三个方面来谈论对数学思想发展的影响。数学三大学派提供了数学与逻辑关系的三种理论，促进了人们对数学中逻辑的力量和限度的认识，也推动了对数学与逻辑的真理性的辩证理解。三大学派对无限本质的争论促进了实无限概念在数学家群体中的接受，推动了无限的数学的进展，推动了实无限与潜无限的统一，促进数学向更抽象的领域发展，也进一步引起了数学概念是人类的发现还是发明之争。三大学派的争论促进了对数学的可构造性的理解，并推动构造性思想的发展。第四章概括了哥德尔不完全性定理的重大意义。哥德尔不完全性定理在数学三大学派的争论中起到承前启后的作用，它的发表促进了三大学派激烈争论阶段的终结和新的相互融合阶段的开始，代表着数学思想发展的新的阶段。哥德尔不完全性定理揭示了数学形式与内容，有限与无限的辩证性质，具有重要的科学推理意义。第五章结合数学三大学派争论产生的影响，对推动数学发展的内在因素进行了探讨。这种内在因素主要有数学问题的提出和解决、数学符号的改进以及数学思想和方法的革新。第六章研究了数学三大学派的争论对我国数学思想发展的影响。数学三大学派的争论直接或间接地促进了中国当代新数学思想的崛起，如数学三大学派的争论促进了数学辩证性质的深刻揭示、

目录

声明

摘要

绪论

一、什么是数学和数学思想

二、研究现状综述

第一章 20世纪数学三大学派的争论

第一节 数学三大学派争论的缘起

一、数学基础的严密化运动

二、集合论悖论与数学基础危机

第二节 逻辑主义学派的基本观点

一、逻辑主义学派的数学还原计划

二、逻辑主义学派观点引起的争论

第三节 直觉主义学派的基本观点

一、直觉主义学派的直觉构造观

二、直觉主义学派对经典数学的批判

三、直觉主义学派观点引起的争论

第四节 形式主义学派的基本观点

一、希尔伯特的形式公理化思想

二、希尔伯特的证明论纲要

三、希尔伯特数学观引起的争论

第二章 数学三大学派争论的实质

第一节 数学基础的牢靠性问题

一、逻辑与数学的牢靠性

二、直觉与数学的牢靠性

三、形式系统的无矛盾性与数学的牢靠性

第二节 数学中的矛盾问题

一、悖论与消除悖论方法的分歧

二、数学的抽象性与现实性的矛盾

第三节 数学的统一性问题

一、数学的分化与统一趋势

二、数学结构与方法的统一

第三章 数学三大学派争论过程产生的新数学思想

第一节 数学中逻辑的力量

一、逻辑与数学关系的三种理论

二、数学中逻辑方法的力量和限度

三、对逻辑与数学真理性的辩证认识

第二节 关于无限的数学

一、无限本质的哲学探讨与数学研究

二、三大学派对数学无限观的发展

三、数学中潜无限与实无限的对立统一

第三节 关于可构造的数学

一、构造性数学思想的本质

二、构造性数学思想的发展

三、构造性思想的认识论价值

第四章 哥德尔不完全性定理的重要价值

第一节 哥德尔不完全性定理的辩证思维

一、哥德尔对单极思维方式的摒弃

二、哥德尔相互隶属的辩证思维

第二节 哥德尔不完全性定理的科学推理意义

一、形式推理与计算

二、非形式的推理论证

三、系统的强度与推理的改进

第五章 推动数学发展的内在因素

第一节 问题与问题的解决

第二节 数学符号与符号的改进

一、数学符号的先进性

二、符号改进与数学发展

第三节 改进数学思想和数学方法

一、对数学矛盾的新理解

二、两种重要的风格和手段：算与证

第六章 数学三大学派的争论对中国数学的影响

第一节 中国当代崛起的新数学思想

一、数学辩证性质的深刻揭示

二、“数学科学”观念的兴起

三、数学模型与原型的研究

四、定理的机器证明思想

五、复兴中国古代数学

第二节 关于提出有挑战性的数学问题

一、问题意识与中国数学发展

二、有挑战性数学问题的特征

三、为提出有挑战性数学问题创造条件

总结

参考文献

后记