广义逆矩阵与极秩的研究

摘要

广义逆矩阵是上世纪矩阵理论中的一项极为重要的新发现，它在概率统计，数学规划，数值分析，控制论和网络理论等学科中都有着重要的应用。矩阵极秩是近十年来一个非常活跃的研究领域，它对广义逆相关领域如广义逆逆序律、Hermite广义逆、矩阵积的不变性、矩阵方程以及参数估计的研究起着至关重要的作用。本文主要针对具有固定列空间和零空间的{2}-逆、广义逆矩阵的极秩和矩阵极秩的应用等三部分内容进行研究。
　　 第一部分，具有固定列空间和零空间的{2}-逆的研究。我们首先给出了三种矩阵对称因子的定义；然后分别研究这三种矩阵对称因子的构造和性质；接着给出了具有固定列空间和零空间的矩阵左、右对称因子的显式表达式：最后得到了给定列空间和零空间的{2，3}-逆A(2，3)T，S和{2，4}-逆A(2，4)T，S的显式表达式。由此讨论了常见的六种广义逆新的表示和计算方法。
　　 第二部分，广义逆矩阵极秩的研究。我们首先给出一种通用的计算含(加权)Moore-Penrose逆的矩阵表达式或块矩阵秩的方法。其次给出了形如A-XBY的共一百四十四个矩阵表达式的极秩，其中X和Y分别取矩阵B的任意广义逆。最后又详细地给出了矩阵表达式A-B(1，3M)CD(i)的最大秩和最小秩的求解过程和结果，其中D(i)∈{D(1，3M)，D(1，4N)，D(1，2，3M)，D(1，2，3M)，D(1，2，4N)，D(1，3M，4N)}。类似地，我们能得到计算形如A-XCY的共一百个矩阵表达式极秩的方法，其中X和Y分别取矩阵B和矩阵D的任意的非{1}-逆或{1，2}-逆的其它广义逆。
　　 第三部分，矩阵极秩在广义逆逆序律和Hermite广义逆存在性上的应用。对于广义逆逆序律我们首先得到了(AB)+=B+A+、(AB)+ML=B+NLA+MN、(ABC)+=C+B+A+和(ABC)+MQ=C+PQB+NPA+MN成立的新的充分必要条件；其次得到了B{1，3}A{1，3}()(AB){1，3}、B{1，3}A{1，3}=(AB){1，3}、B{1，4)A{1，4)()(AB){1，4}和B{1，4}A{1，4}=(AB){1，4}成立的不含矩阵积的奇异值分解信息的充分必要条件；然后得到了B{1，2，3}A{1，2，3}()(AB){1，2，3}、B{1，2，4}A{1，2，4}()(AB){1，2，4}、B{1，2，3}A{1，2，3}=(AB){1，2，3}和B{1，2，4)A{1，2，4}=(AB){1，2，4)成立的充分必要条件；最后得到了B{1，3，4}A{1，3，4}()(AB){1，3，4}、B{1，3，4}A{1，3，4}()(AB){1，3，4}以及B{1，3，4}A{1，3，4}=(AB){1，3，4}成立的充分必要条件。对于Hermite广义逆存在性我们给出了一般方阵的Hermite广义逆A-h，A(1，2)h，A(1，3)h，A(1，4)h，A(1，2，3)h，A(1，2，4)h，A(1，3M)h，A(1，4N)hA(1，2，3M)h，和A(1，2，4N)h存在的充分必要条件。
　　 在以上的理论研究之外，本文还给出了很多数值算例。

目录

文摘

英文文摘

符号表

1 绪论

1.1 广义逆矩阵

1.2 广义逆矩阵表达式的极秩

1.3 矩阵极秩在广义逆逆序律中的应用

1.4 矩阵极秩的其它应用

1.5 本文的研究成果及结构

2 矩阵对称因子与A(2)T,S

2.1 矩阵左对称因子与A(2,4)T,S

2.1.1 左对称因子的构造

2.1.2 左对称因子的性质

2.1.3 给定列空间和零空间的左对称因子的构造

2.1.4 给定列空间和零空间的{2,4}-逆A(2,4)T,S的构造

2.1.5 A(2,4)T,S的应用

2.1.6 算例

2.2 矩阵右对称因子与A(2,3)T,S

2.2.1 右对称因子的构造

2.2.2 右对称因子的性质

2.2.3 给定列空间和零空间的右对称因子的构造

2.2.4 给定列空间和零空间的{2,3}-逆A(2,3)T,S字的构造

2.2.5 A(2,3)T,S的应用

2.2.6 算例

2.3 矩阵对称因子的研究

2.3.1 对称因子的构造

2.3.2 对称因子的性质

2.4 本章小结

3 子块含Moore-Penrose逆的块矩阵的秩

3.1 子块含Moore-Penrose逆的块矩阵的秩

3.2 算例

3.3 本章小结

4 矩阵表达式A-B(i)BB(j)的极秩

4.1 A-B(i)BB(j)的极秩的显式表达式

4.2 应用

4.3 本章小结

5 矩阵表达式A-B(i)BB(j)的极秩

5.1 A-B(1,3M)CD(j)的极秩

5.1.1 A-B(1,3M)CD(1,3M)的极秩

5.1.2 A-B(1,3M)CD(1,4N)的极秩

5.1.3 A-B(1,3M)CD(1,2,3M)的极秩

5.1.4 A-B(1,3M)CD(1,2,4N)的极秩

5.1.5 A-B(1,3M)CD(1,3M,4N)的极秩

5.2 A-B(1,3M)CD(j)的极秩的推广

5.3 应用

5.4 本章小结

6 矩阵极秩在广义逆逆序律中的应用

6.1 Moore-Penrose逆的逆序律

6.2 {1,3}-逆{1,4}-逆的逆序律

6.2.1 {1,3}-逆的逆序律

6.2.2 {1,4}-逆的逆序律

6.2.3 算例

6.2.4 我们可以得到如下结论

6.3 {1'2,3}-逆{1,2,4}-逆的逆序律

6.3.1 {1,2,3}-逆的逆序律

6.3.2 {1,2,4}-逆的逆序律

6.3.3 算例

6.4 {1'3,4}-逆的逆序律

6.4.1 一个重要引理

6.4.2 {1,3,4}-逆的逆序律

6.4.3 算例

6.5 本章小结

7 矩阵极秩在Hermite广义逆存在性中的应用

7.1 A-h与Ah(1,2)的存在性

7.2 Ah(1,3)与Ah(1,4)的存在性

7.3 Ah(1,2,3)与Ah(1,2,4)的存在性

7.4 算例

7.5 本章小结

8 总结与展望

8.1 主要成果

8.2 展望

致谢

参考文献

附 录

A.作者在攻读学位期间发表和完成的论文目录

B.作者在攻读学位期间取得的科研成果目录