加权Bergman空间上的Toeplitz算子乘积问题

摘要

在分析学中函数空间上的算子理论是很重要的一部分内容,而Toeplitz算子的乘积问题是算子理论的研究中一个非常重要的课题.该问题起源于Brown和Halmos在1964年的文章,当时他们定义了单位圆盘Hardy空间上的Toeplitz算子,并解决了 Toeplitz算子乘积问题:对于符号函数f,g,h,tftg=th何时成立?后来随着Bergman空间上的Toeplitz算子乘积理论逐渐发展起来,2001年Ahern和Cuckovic在单位圆盘经典Bergman空间上也考虑了类似问题,并得到了 一个Brown-Halmos型定理.本文主要围绕在加权Bergman空间上Brown-Halmos型定理是否成立展开研究,此外我们在加权Bergman空间上讨论了 Ahern-Cuckovic的猜想.本文的主要内容如下:第一章,首先介绍了Hardy空间、Bergman空间上的算子乘积问题的发展现状.其次特别介绍了Toeplitz算子的零乘积问题以及Ahern-Cuckovic猜想的研究历程,最后给出了本文的主要研究成果.第二章,分别列举了与本文相关的基础知识,引理,定理.第三章,先在加权Bergman空间上讨论了 Brown-Halmos型定理是否成立,发现Ahern和Cuckovic在经典Bergman空间中使用的方法此时不再适用.因此我们讨论了特殊情形的Brown-Halmos型定理,即Tf(α)Tg(α)=Tfg(α)何时成立.接下来我们假设符号函数具有特定的极分解形式,验证了 Ahern-Cuckovic猜想在加权Bergman空间上是成立的.

目录

第一章 引言

1.1 研究背景

1.1.1 Brown-Halmos定理及相关问题

1.1.2 零乘积问题及Ahern-Cuckovic猜想

1.2 本文主要结果

第二章 预备知识

2.1 符号说明

2.2 引用说明

第三章 Toeplitz算子的乘积问题

3.1 Toeplitz算子的乘积

3.2 Toeplitz算子的零乘积

参考文献

致谢

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