一类反应扩散方程组解的爆破估计

摘要

本文讨论如下带局部化源的反应扩散方程组初值问题和初边值问题解的爆破性质。 {ut=△u+up1(x0(t)，t)vq1(x0(t)，t)，(x，t)∈Ω×(0，T)，(1)vt=△v+up2(x0(t)，t)vq2(x0(t)，t)，(x，t)∈Ω×(0，T).这里pi，qi(i=1，2)为常数，p2＞p1-1＞0，q1＞q2-1＞0，并且x0：R+→Ω是H(o)lder连续函数。当Ω=Rn时，方程组对应的初始条件为u(x，0)=u0(x)，v(x，0)=v0(x)，x∈Rn.(2)其中u0(x)和v0(x)都是非负连续的有界函数。当Ω为Rn中的具有光滑边界的有界区域时，方程组对应的初边值条件为{u=0，v=0，x∈()Ω,t＞0，(3)u(x，0)=u0(x)，v(x，0)=v0(x)，x∈Ω.这里u0(x)和v0(x)都是(-Ω)上的非负连续函数且在边界()Ω上为0。 本文第1节是全文的综述，首先叙述了反应扩散方程研究的基本问题及其解的爆破问题研究的主要内容，然后阐述了本文讨论的实际背景，相关问题目前国内外研究动态，最后简述本文的主要内容和结果。 本文第2节研究初值问题(1)(2)解的爆破条件和爆破速率。证明了下列结果：i定理1.如果u0(x)，v0(x)都是非负有界的且不恒为0的连续函数，那么初值问题(1)(2)的解(u，v)一定在有限时刻爆破。 定理2.设(u，v)是问题(1)(2)的一个古典解，且在有限时刻T*爆破，那么存在常数Ci(i=1，2，3，4)，满足C1(T*-t)-α≤u≤C2(T*-t)-α，x∈Rn，t→T*-C3(T*-t)-β≤v≤C4(T*-t)-β，x∈Rn，t→T*-这里α=q1-q2+1/p2q1-p1q2+p1+q2-1，β=p2-p1+1/p2q1-p1p2+p1+q2-1。 本文在第3节讨论初边值问题(1)(3)的解(u，v)在有限时刻T*爆破的条件，并给出该初边值问题解(u，v)的内部一致爆破模式。主要结果如下： 定理3.设x0：R+→Ω是H(o)lder连续函数，ψ∈C(-Ω)，ψ|()Ω=0，ψ≥0，ψ不恒为零，u0=λ(ψ)，v0=μψ(λ，μ＞0)，则存在正数Λ=Λ(ψ)，当λ，μ＞Λ(ψ)时，初边值问题(1)(3)的解(u，v)在有限时刻T*爆破。 定理4.设(u，v)是问题(1)(3)在Ω×(0，T*)的一个古典解，则limt→T*(T*-t)αu(x，t)=(1/α(α/β)q1/(q1-q2+1))-αlimt→T*(T*-t)βv(x，t)=(1/β(β/α)p2/(p2-p1+1))-β在Ω的紧子集上一致爆破。 在第4节，本文估计初边值问题(1)(3)解的边界层的大小，得到了如下结果： 定理5.设(u，v)是问题(1)(3)在Ω×(0，T*)内的古典解，且在有限时刻T*爆破，则对任意的正数A＞0，总存在常数C6≥C5＞0，C8≥C7＞0和t0∈(0，T*)使得对于满足d(x)≤A√T*-t的所有(x，t)∈Ω×[t0,T*)，都有C5d(x)/√T*-t‖u(t)‖∞≤u(x，t)≤C6d(x)/√T*-t‖u(t)‖∞C7d(x)/√T*-t‖v(t)‖∞≤v(x，t)≤C8d(x)/√T*-t‖v(t)‖∞这里d(x)=dist(x，()Ω)。

目录

文摘

英文文摘

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§1.引言

§2.初值问题的一致爆破估计

§3.第一初边值问题的爆破估计

§4.第一初边值问题的边界层估计

全文主要结论及创新点

参考文献

攻读硕士学位期间发表的论文

致谢