一类二阶Hamiltonian系统及常p-Laplacian系统周期解和次调和解的存在性

摘要

考虑二阶Hamilton系统(HS)｛-ü(t)=▽F(t,u(t))u(0)-u(T)=u(0)-u(T)=0其中T＞0，F：R×RN→R满足条件：(A')F(t，x)对每个x∈RN关于t是以T为周期的，F(t，x)是RN+1到R上的连续函数，并且▽xF(t,x)=(()F/()x1，…，()F/()xN)∈C(RN+1,RN)本文利用临界点理论中的极大极小方法及局部环绕定理研究了以上二阶非自治哈密尔顿系统非平凡周期解的存在性，并得到了一些新的可解性条件．主要定理如下： 定理1.设F满足条件(A'),且满足下面的条件：(F1)存在某正数r1及常数α＜2π2/T2，使得0≤F(t，x)≤α│x│2对RN中所有的│x│≤r1,t∈[0，T]都成立．(F2)存在常数β＞0，L＞0使得F(t，x)≥β│x│2对RN中所有的│x│＞L及t∈[0，T]都成立．(F3)存在常数μ＞2使得lim sup│x│→∞μF(t,x)-(▽xF(t,x),x)/│x│2≤0.则系统(HS)至少有一个非平凡解。 定理2.设F满足条件(A')，(F2)，(F3)，且满足下面的条件；(F1')存在某正数η使当│x│≤η时对一切t∈[0，T[有F(t，x)≤F(t，0)．则系统(HS)至少有一个非平凡解． 此外，我们还研究了如下更一般的常p-Laplace系统u(0)-u(T)=u(0)-u(T)]=0(OPS)｛-d/dt(│u(t)│p-2u(t))=▽F(t,u(t))其中P≥2，T＞0，F：[0，T]×RN→R满足上述条件(A')． 本文利用相应空间的一致凸性及广义山路引理，证明在超二次条件的假设下，紧性条件成立，从而可以获得常p-Laplace系统周期解及次调和解的新的存在性条件．主要定理如下； 定理3.设F满足条件(A'．假设(F4)对任意x∈RN，t∈[0，T]，都有F(t，x)≥0；(F5)存在r1＞0，α＜1/pC-pp，使得F(t，x)≤α│x│p对RN中所有的│x│≤r1，t∈[0，T]都成立，其中Cp=sup(││u││Lp│││u││Lp=1，u=0)；(F6)存在常数β＞0，r2＞0使得F(t，x)≥β│x│p对RN中所有的│x│＞r2及t∈[0，T]都成立；(F7)存在常数μ＞P使得lim sup│x│→∞μF(t,x)-(▽xF(t,x),x)/│则系统(OPS)在W1,pT中至少有一个非平凡解． 定理4.设F满足条件(A'),(F4)，(FT)．假设(F8)lim│x│→0 F(t,x)/│x│p=0对几乎所有t∈[0，T]一致成立；(F9)存在β＞3p-1wp和r3＞0使得F(t，x)≥β│x│p对RN中所有的│x│＞r3及t∈[0，T]都成立，其中w=2π/T．则存在一个整数列(kj)cN，Kj→∞，及相应存在系统(OPS)的不等的kjT周期解．

目录

声明

摘要

一.前言

二.文献综述

三.预备知识

四.主要结果

§4.1一类超二次二阶哈密顿系统非平凡周期解的存在性

§4.2常p-Laplace系统周期解和次调和解的存在性

五.主要结果的证明

六.分析与思考

参考文献

后记