一类二阶Hamilton系统的周期解和次调和解

摘要

考虑二阶连续的Hamilton系统其中，T＞0，A(t)是连续的N对称阶矩阵，F：R×RN→关于t是T—周期的且满足以下假设(A)F(t，x)对每个x∈RN关于t是可测的，对a．e．t∈[O，T]关于x是连续可微的，且存在a∈C(R+，R+)，b∈L1(O，T；R+)使得｜F(t，x)｜≤a(｜x｜)b(t)，｜▽F(t，x)｜≤a(｜x｜)b(t)对所有的x∈RN及a．e．t∈[O，T]成立． 本文利用临界点理论中的极小极大方法研究了具有非一致强制位势和具有超二次位势的以上二阶Hamilton系统的周期解和次调和解． 首先，考虑A=0这种特殊情况，这时系统(HS1)变成了我们的主要结果如下： 定理1设F(t，x)=C(x)+H(t，x)满足条件(A)．若存在r＜4π2/T2和g∈L1(O，T；R+)使得(▽G(x)—▽G(y)，x—y)≤r｜x—y｜2(1)对所有x，y∈RN成立且｜▽H(t，x)｜≤g(t)对所有x∈RN及a．e．t∈[O，T]成立．如果存在，γ∈L1(O，T)和[O，T]的满足measE＞0的子集E使得F(t，x)≥γ(t)(2)对所有的x∈RN及a．e．t∈[O，T]成立，且当｜x｜→∞时，F(t，x)→+∞对a．e．t∈E成立．那么系统(HS2)至少有一个解． 定理2设F(t，x)=G(x)+H(t，x)满足(A)和(1)，若存在f，g∈L1(O，T；R+)使得｜▽H(t，x)｜≤f(t)｜x｜a+g(t)(3)对所有x∈RN及a．e．t∈[O，T]成立．如果当｜x｜→∞时，｜x｜-2aF(t，x)→=∞对a．e．t∈[O，T]一致地成立．则系统(HS2)至少有一个解． 定理3设F(t，x)=G(x)+H(t，x)满足(A)，(1)，(2)和(3)，若存在[O，T]的满足measE＞O的子集E使得当｜x｜→∞时｜x｜-2aF(t，x)→=∞(4)对a．e．t∈E成立．则系统(HS2)至少有一个解． 定理4设F(t，x)=G(x)+H(t，x)满足(A)，(1)，(2)，(3)和(4)．若存在δ＞0，ε＞0和正整数k＞0使得-1-2(k+1)2ω2｜x｜2≤F(t，x)—F(t，O)对所有x∈RN和a．e．t∈[O，T]成立，且F(t，x)—F(t，O)≤-1-2k2ω2(1+ε)｜x｜2对所有｜x｜≤δ和a．e．t∈[O，T]成立，其中ω=2π/T．则系统(HS2)至少有—个非零解．其次，考虑一般的A(t)为连续的N阶对称矩阵的情形．我们有以下定理： 定理5设F满足条件(A)及以下条件：且存在λ＞2和β＞λ-2使得如果0为—d2/dt2-A(t)(具有周期边界条件)的特征值，那么也假设存在r＞0，使得当｜x｜≤r时，对任意的t∈[0，T]，都有F(t，x)≥0(或F(t，x)≤0)．则系统(HS1)至少存在一个非平凡的T—周期解． 定理6假设F满足(A)，(5)，(6)，(7)及以下条件：则系统(HS1)存在无穷多个不同的次调和解． 考虑二阶离散的Hamilton系统△2u(t-1)+b(t)▽V(u(t))=0，(A)t∈Z，(DHS)其中△u(t)=u(t+1)—u(t)，△2u(t)=△(△u(t))，b∈C(R，R)且关于t是T—周期的，即，存在正整数T，使得对任意的t∈Z，有b(t+T)=b(t)．V∈C1(RN，R)，▽V(x)表示V(x)关于x的梯度． 本文利用临界点理论中的极小极大方法来研究具有变号位势的二阶离散Hamilton系统(DHS)的周期解的存在性．主要结论如下： 定理7．假设函数6(t)和V(x)=a｜x｜μ+W(x)，其中a＞0，μ＞2，W∈C1(RN，R)满足下面的假设(b1)b∈C(R，R)：且存在正整数T使得对任意的t∈Z，有b(t+T)=b(t)，∑Tt=1b(t)=0但b≠0． (B2)存在T—周期函数e：Z→RN使得e｜z[1，T]\N1=0，∑t∈N1e(t)=0，e≠0且T∑t=1b(t)e(t)=0，其中N1={t∈Z[1，T]：b(t)＞0)． (W1)存在a0∈(0，2B-1sin2(π—T))和r0＞0使得｜W(x)｜≤a0｜x｜2，()｜x｜≤r0，其中B=max{b(t)：t∈Z[1，T]｝，Z[n1，n2]=Z∩[n1，n2]，n1，n2∈Z满足n1≤n2． (W2)存在常数G0＞0使得｜▽W(x)｜≤G0，()x∈RN．则系统(DHS)至少有一个非平凡的T—周期解． 定理8．假定μ＞2，d∈C(R，R)满足(d1)存在正整数T，使得对任意的t∈Z有d(t+T)=d(t)，∑Tt=1d(t)=0且d≠0． (d2)存在以T—周期的函数e：Z→RN使得e｜z[1，T]\N1=0，∑t∈N1e(t)=0，e≠0且∑Tt=1d(t)e(t)=0，其中N1=｛t∈Z[1，T]：d(t)＞O｝． 假设H：Z×RN→R，H(t，x)对每个t∈Z关于x是连续可微的，对每个x∈RN关于t是T—周期的，使得(H1)∑Tt=1H(t，x)≥0对所有的x∈RN成立． (H2)存在a0∈(0，1—cos(2π/T))和r0＞0使得｜H(t，x)｜≤a0｜x｜2，()｜x｜≤r0，()t∈Z． (H3)存在常数M0＞0使得｜▽H(t，x)｜≤Mo，()x∈RN，()t∈Z．则系统△2u(t-1)+d(t)｜u(t)｜u-2u(t)+▽H(t，u(t))=0，(▽t)∈z，至少有一个非平凡的T—周期解．

目录

文摘

英文文摘

声明

一、前言

二、文献综述

二、预备知识

三、主要结果

§3.1具有非一致强制位势的二阶连续Hamilton系统

§3.2具有超二次位势的二阶连续Hamilton系统

§3.3具有变号位势的二阶离散Hamilton系统

四、主要结果的证明

§4.1定理3.1-定理3.4的证明

§4.2定理3.5和定理3.6的证明

§4.3定理3.8的证明

五、分析与思考

参考文献

硕士期间发表的论文

后记