一类拟线性椭圆方程Dirichlet边值问题多个变号解的存在

摘要

本文我们将应用极大极小方法和Morse理论研究一类拟线性椭圆方程Dirichlet边值问题多解的存在性和解的变号性质。 设Ω是RN(N≥1)中的有界区域，具有光滑边界()Ω，我们考虑拟线性椭圆方程Dirichlet边值问题{-△pu=f(x,u),x∈Ω,{u=0,x∈()Ω这里△pu=div(｜()u｜p-2()u)，1＜p＜∞.用p*表示p的Sobolev共轭临界指数：p*={Np/N-p,p＜N，{∞，p≥N.设函数f：Ω×R→R为Carathédory泛函，满足增长性条件(f1)存在常数C＞0和q∈(1，p*)，使得对u∈R，x∈Ω，有｜f(x，t)｜≤C(1+｜t｜q-1)成立时，此时非线性泛函Ф：W1,p0，(Ω)→Rφ(u)=1/p∫Ω｜()u｜pdx-∫ΩF(x,u)dx有定义，这里F(x，t)=∫t0f(x,s)ds是f(x，u)的原函数。进而泛函Ф是一次Fréchet可微，它的Fréchet导数表示为(Ф;(u)，v)=∫Ω｜()u｜p-2()u()udx-∫Ωf(x,u)udx,()u,u∈W1,p0(Ω).所以方程(Dp)的弱解等同于泛函Ф的临界点。于是求方程(Dp)的弱解等价于求泛函Ф的临界点。 现在我们陈述本文的主要条件和结论。在本文中我们总是假设函数f：Ω×R→R是连续函数(从而是Carathédory函数)，满足次临界增长性条件(f1)，且满足f(x，0)≡0，因而方程(Dp)有一个平凡解u=0.我们的目的是求方程的非平凡解。不失一般性，我们假设问题(Dp)有有限个解。非平凡解的存在性取决于f(x，t)或它的原函数F(x，t)在原点0及无穷远的性质。 我们假设以下条件：(f2)lim｜t｜→∞pE(x,t)/t｜p＜λ1,(f3)存在ρ＞0，λ＞λ2，使得当0＜｜u｜≤ρ时，F(x，t)≥λ/p｜t｜p.本文的主要结果是定理1设(f2)，(f3)成立，则方程(Dp)有两个非平凡解，其中一个是正解u1，一个是负解u2.若方程(Dp)只有这两个定号解，则它还有一个变号的山路型非平凡解u3.它们的能量满足max{Ф(u1)，Ф(u2)}＜Ф(u3)＜0.若把(f3)加强为如下的条件(f'3)存在a＞λ2，a()σ(-△p)使得limp｜u｜→0F(x,t)/｜t｜p=a.则有定理2设(f2)，(f'3)成立，再设定理1中得到的山路点u3的临界群为Cq(Ф，u3)=δq,1F，()q∈z，其中F为相应系数群，那么方程(Dp)还有第四个变号的非平凡解。

目录

文摘

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§0.临界点理论综述

§1.问题和主要结果及评述

§2.主要结果的证明

参考文献

致谢

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