一类带多个临界指数的椭圆方程组的正解和变号解的存在性

摘要

本文主要研究了一类带有临界Hardy-Sobolev指数、混合临界项、次临界项和线性项的奇异椭圆方程组的零边值问题．算子，不同于以往大量相关文献中的算子，此类算子依赖于正常数，次临界项和线性项的同时出现给本文的研究带来了一些困难．临界Hardy-Sobolev指数、混合临界项的存在使得该方程组对应的能量泛函失去紧性，所以，我们应用山路引理来验证该方程组的正解存在性时，需要先建立局部的P-S条件．
　　 引言部分，本文主要对这类奇异椭圆方程组的零边值问题的研究背景和意义做了较为详细的介绍，主要包含如下两个方面：临界点理论的发展和相关文献的研究成果．当时，这类奇异椭圆方程组是由与各向异性介质的平衡 有关的物理现象引进的数学模型，具有较强的现实意义．
　　 在第二章，我们需特别注意对临界项的分析．由于临界项和混合临界项的存在，使得对所有的能量值c，P-S序列不收敛，仅对部分c收敛．受以往文献的启发，我们通过最佳常数来对能量值c的范围进行限定，从而建立这类奇异椭圆方程组的零边值问题的能量泛函的局部P-S条件．这一章主要用到变分不等式和集中紧性原理．
　　 第三章的关键内容是,通过最佳常数的达到函数来验证满足局部P-S条件的P-S序列的存在性．在这一章，我们利用传统的方法找到了该类奇异椭圆方程组的零边值问题的正解．第一步，计算出了极值函数的估计式；第二步，验证相应能量泛函的山路几何性质；第三步，利用山路引理（Mountain Pass Theorom），验证了正解的存在性．
　　 第四章，我们又运用Moser迭代和适当的分析技巧，通过大量的计算，对该类奇异椭圆方程组的零边值问题的非平凡解以及正解在原点的渐近性进行了探究和验证．渐近性对第五章变号解的寻求起着至关重要的作用．这一部分主要用到了极大值原理和Young不等式、H?lder不等式等．
　　 最后，有了前面几章研究结论作铺垫，沿用文献[2-4]的思路，我们寻得变号解存在的条件，证明过程中主要用到了形变引理，Miranda定理和一个基本不等式等．

目录

文摘

英文文摘

声明

第一章 引言

第二章 局部(PS)c条件

第三章 具有Hardy-Sobolev临界指数的奇异椭圆方程组的正解

第四章 非平凡解和正解在原点附近的渐近性质

第五章 具有Hardy-Sobolev临界指数的奇异椭圆方程组的变号解

参考文献

致 谢

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