有限要素解析由来のブロック疎行列に適したマルチフロンタル法に基づく直接法ソルバ

摘要

様々な分野への応用が進みつつある有限要素法を用いたCAEは，コンピュータ能力の向上に伴いモデルの大規模化·複雑化が進hでいる．そこで用いられる有限要素解析モデルの解析解を得るための疎行列の解法として直接法と反復法がある．大規模のモデルであれば，並列化の容易な反復法が選択されることが多い．しかしながら反復法は収束性を上げるために強力な前処理をしても，収束解が得られる保証がない．一方，直接法では，丸め誤差がないとき，有限回の計算で解を得ることができるため，実問題を解く上で有利である．直接法ソルバを大規模な実問題に活用していくためには，反復法と比較して低い並列化効率の向上と，必要メモリ量の低減のためにフィルイン（分解過程で0部分に値が入ること）の発生数の抑制が必要であり，疎行列のリオーダリングアルゴリズムの改良が求められるが，最適なリオーダリングの決定は現実的に不可能であるため，最適に近いリオーダリングを求めている．最適なリオーダリングがされたとき，直接解法では，三角分解した行列を得ることが目的となる．疎行列の分解であるので，その疎性を活用して分解を行うことでメモリと計算時間を削減することができる．この手法として，著名なものにマルチフロンタル法がある．マルチフロンタル法は，Duff，Reidによって提唱された疎行列の外積形式（right-looking）の直接解法［1］であり，これまで多くの研究がなされている．マルチフロンタル法では，疎行列をフロンタル行列と呼ばれる小さな密行列を単位にして分解を進める方法であり，消去演算の順番を決定するための消去木を作成し，深さ優先探索を行い，その順番によって親子関係を決定し，並列可能な部位について，消去演算を同時に進めていき，その演算結果をアップデート行列と呼ばれる小さな密行列を子から親に渡すこと計算を進める方法であり，並列化が行いやすい．MUMPS［2］，WSMP［3］などのいくつかの直接法ソルバなどに実装されている．本稿では，有限要素解析由来のブロック疎行列の活用，持つべき行列形式による差異を明らかにして効率化を確認する．