非圧縮性流れの完全保存形差分スキームに対するJFNK 法

摘要

DNS やLES による乱流の非定常数値解析に対しては，時間積分を長時間安定に実施するため，自乗量保存形の差分スキームがしばしば使用される．これは，連続の式の成立により，非拡散の極限において輸送方程式が輸送量の自乗も保存するという定性的保存特性を離散的に実現した差分スキームである．しかし，空間的に自乗量保存形の差分スキームを適用しても，陽的時間進行法を使用する限り，数値安定性条件による時間刻み幅の制限が存在する．一方，時間および空間の双方に自乗量保存形の離散化を行えば，非拡散の極限においても理論上は絶対安定な計算アルゴリズムが構成できる．ここでは，これを完全保存形差分スキームと呼ぶ．この場合，解くべき離散式は非線形連立方程式となる．ところで，適切な初期推定値を与えれば非線形連立方程式はニュートン法による繰り返し計算で解ける．しかし，N 元の非線形連立方程式を解くためには配列N_2 の係数行列（ヤコビ行列）が必要なため，3次元非定常数値計算へのニュートン法の適用は困難となる．これに対し，配列O(N) でN 元の非線形連立方程式が解ける手法，つまりJacobian-Free Newton-Krylov (JFNK) 法が提案され，大規模非線形問題の解法として近年注目され始めている．そこで本報では，完全保存形差分スキームで離散化された非圧縮性流れの支配方程式を解く計算アルゴリズムとして，JFNK 法の適用を考える．その際，大規模問題に対してはJFNK 法で使用されるクリロフ部分空間反復法の効果的な前処理の導入が必須であるので，非圧縮性流れの非定常数値計算に適した前処理を検討し，新たな前処理を提案する．さらに，提案された前処理の有効性を平板チャネル乱流のDNS で検証する．