基于3组对应点的相机外参定标

摘要

相机外参定标在运动分析、三维物体重建、纹理映射等领域有着广泛的应用,这是最近几十年来计算机视觉和虚拟现实的一个研究热点.目前算法可以分成两类:即闭形解和最小二乘迭代拟合。前者通常快而简单,精度更高,所需的对应点也更少.后者需要初值足够接近结果,以避免陷入讨厌的局部极小点并节约宝贵的计算时间.因此,本文研究了相机定标的闭形解.相机外参可以用外参矩阵(或者RT矩阵)E表示,它又可以分解成6个独立的参数,3个旋转角和包含3个分量的平移向量.如果相机遵守针孔模型,那么每个对应点可以利用图像坐标系(ICS)和世界坐标系(WCS)之间的变换关系列出2个方程.因此,为了解出这6个独立参数(外参矩阵可以由这些参数求得),至少需要3组对应点.因为这6个方程都不是线性方程,所以解是不唯一的,通常是2组或4(上界)组.由于这些方程非常复杂,简单的消元无法奏效.但这一难题还是可以通过以下三步来求解。首先,利用共线性和欧氏距离不变性这两个特性可以求得图像中的点在相机坐标系(CCS)中的坐标.共线性是指物点、光心和像点三点共线.只要遵守针孔模型,就可以保证这点.它将CCS中的对应点限制在某些直线上.欧氏距离不变性指的是平移和旋转不会改变两点间的欧氏距离,而CCS和WCS之间的变换只是平移和旋转,根据这种不变性,三点之间在CCS中的距离就是在WCS中的距离,而WCS中的距离可以直接计算.三个点之间的距离能够进一步限制CCS中的对应点出现的位置,只能在某些直线上的某些位置上.这样实际上就已经解出了点在CCS中的坐标.然后,求解E。E就是从WCS到CCS的变换矩阵,求解该矩阵可以通过把它们变换到一个公共的参考坐标系(RCS)求解.假设3个输入点在WCS或者CCS中为p1、p2和p3,那么选择的公共的RCS必须满足三个条件:变换后的p1在原点;变换后的p2在x正半轴上;变换后的p3在xoy平面的第一象限.可以证明,该公共的RCS是唯一的,因此可以由WCS和CCS共享,作为连接两者的桥梁。从WCS或者CCS到公共的RCS的变换方法可以从RCS必须满足的三个条件得到,即每次子变换都再满足一个条件,直到最后所有条件都满足.最后,通过分解E求解出6个外参.这步是必须的,因为在第一步中方程两边平方,可能会引入增根.如果分解失败,则E就是增根,必须舍去.平移向量T可以直接从E的第四列读出,从第一行到第三行依次是tx、ty和tz.三个旋转角也可以通过一系列的运求出.文中提出的算法已经用VC++程序实现,因为算法不需要迭代,理论上,程序应该快而准确,这已被实验所证明.用PIV2.8GHz的CPU,发行版的运算时间不超过20微秒,重投影绝对误差小于百万分之一.该算法至少可以有两种用途,可以用于只能给出三组对应点的场合,如果给出的对应点更多,也可以用于最小二乘迭代拟合时的初值估算。特别地,应用于纹理映射中,对于三角形的物体,通过指定三组顶点在三维模型和照片中的对应关系,能够进行高精度的映射.