一种基于改进L曲线模型函数法的磁性目标磁矩反演方法

摘要

本申请属于海洋地磁场重构技术研究中磁场强度数值计算领域，尤其涉及一种基于改进L曲线模型函数法的磁性目标磁矩反演方法。该方法包含以下步骤：通过曲率公式对求解正则化参数的L曲线法进行改进；利用模型函数法将求解过程显性化；整理得到改进L曲线模型函数法算法步骤；求磁测目标的磁矩。本申请基于改进L曲线模型函数的Tikhonov正则化磁矩反演方法得到的磁矩结果的稳定性较强，能够有效的解决不适当问题的结果不连续依赖于初值的问题；有效的解决不适定问题较小的误差波动带来较大的误差结果的问题；同时该模型减少时间复杂度，为磁矩高精度高效率反演建模奠定良好的基础。

说明书

技术领域

本申请属于海洋地磁场重构技术研究中磁场强度数值计算领域，尤其涉及一种基于改进L曲线模型函数法的磁性目标磁矩反演方法。

背景技术

研究磁场空间分布时，常将其简化为等效源，即用一组虚拟源磁场来代替原问题中较复杂的磁性物体磁场。最常用的虚拟源为磁偶极子，当目标磁体的体积远远小于检测距离时，该物体可以被近似为磁偶极子。磁偶极子是稳恒磁场研究的最基本模型计算简单，为提高准确性介质宏观磁场通常等效为无穷多磁偶极子远场的叠加。而磁源信息的关键在于获得磁偶极子阵列中每个磁偶极子的磁矩和位置。针对磁性物质在地磁场会产生异常磁场波动的情况。目前利用磁偶极子阵列模型对磁性目标进行分析，研究其相关特性越来越受到青睐。在磁异常的应用中，其核心是从磁异常测量数据来推算磁性目标相关特性。对此，现有方案主要是对目标进行了单磁偶极子或者少量的磁偶极子的磁矩进行求解。在海洋地质调查中，假定的磁偶极子数目较多且符合磁偶极子阵列的条件，但磁偶极子阵列的磁矩反演研究较少。

对于磁偶极子阵列反问题，由于缺乏足够的观测很多情况下无法产生唯一解、条件数较大不存在可逆矩阵，且反问题往往是非线性的，需要正则化项约束解空间使问题变适定，所以正则化参数的选择至关重要。关于正则化参数选择目前已提出多种方法但均不够完善，如Morozov偏差原则和吸收的Morozov偏差原则，该方法需建立在测量数据误差水平已知的前提下；广义交叉检验准则，其GCV函数的极小值点难于求得；L曲线方法虽然不需要知道所给数据的误差水平，但是它实际上是不收敛的，且上述方法计算存在时间复杂度高的情况。因此如何在误差水平未知的情况下快速定位到最佳正则化参数是问题磁性物质性质反演的关键。

发明内容

本申请的目的在于解决利用Tikhonov正则化方法求解磁性物质磁矩过程中高精度、低复杂度建模问题，提出一种基于改进L曲线模型函数法的磁性目标磁矩反演方法。

为实现上述目的，本申请采用如下技术方案。

一种基于改进L曲线模型函数法的磁性目标磁矩反演方法，包括如下步骤：

步骤一、通过曲率公式对求解正则化参数的L曲线法进行改进：

a1、通过磁偶极子阵列模型H

a2、Tikhonov正则化方法求解的核心为选择合适的正则化参数，但利用L曲线法求解上述问题的时候无法找到准确的正则化参数，因此提出将正则化参数的L曲线法求解过程等价为求泛函ω(a)＝||LM(a)-H

步骤二、利用模型函数法将求解过程显性化：

b1、由Tikhonov泛函J(a)＝||LM(a)-H

J′(a)＝||M(a)||

其中L

J(α)+αJ′(α)+||LM(α)||

b2、由于J(α)是α的函数为隐式函数，利用简单函数F(α)来近似J(α)的性质，将F(α)代入(2)得

F(a)+aF′(a)+||LF(a)||

F(α)+αF′(α)+TF′(α)

b3、对(4)整理得到[(α+T)F(α)]′≈||H

对上式求导得

由于F(a)与J(α)在(0,+∞)上任意点可导，且定义域及对应法则相同则可

以得到

b4、为了将α的求解过程显性化，将(5)(7)代入ω(α)得

当ω(α)′＝0时上式取得最小值，即

2γ||H

b5、由于(9)中的C、T为待求量，利用J(α)＝||LM(a)-H

b6、利用(9)式子求解α虽然较求泛函ω(α)＝||LM(a)-H

b7、因此首先设定初值α

(2C

b8、对(11)式进行变形得到

得到正则化参数的显式求解表达式。

步骤三、通过上述推导公式整理得到改进L曲线模型函数法算法步骤，求得正则化参数：

c1、输入误差项ε、H

c2、通过L

c3、通过

c4、当γ||LM(α

c5、如果|(α

步骤四、基于改进L曲线模型函数法求出磁测目标的磁矩：

d1、为了验证上述正则化参数求解的准确性，首先利用不含误差的磁矩M及磁场强度H对，模型进行验证。根据已知的磁场强度H数据，基于求得的正则化参数α，代入Tikhonov泛函minJ(α)＝||LM(α)-H||

d2、在无误差有效的情况下，考虑到现实情况中测量得到的磁场强度数据H

d3、当模型的有效性及适用性被验证后，可以将实际测量的磁场数据代入基于改进L曲线模型函数法的Tikhonov正则化方法来计算磁性目标的磁矩，从而达到更好的研究磁性目标的性质。

其有益效果在于：

(1)本申请的基于改进L曲线模型函数的Tikhonov正则化磁矩反演方法得到的磁矩结果的稳定性较强，能够有效的解决不适当问题的结果不连续依赖于初值的问题。

(2)本方案中模型的相对误差都在5％左右，磁矩计算准确度较高，说明该模型在存在误差的情况下也能较好的逼近真实解，有效的解决了不适定问题较小的误差波动带来较大的误差结果的问题。

(3)本申请的方案有效减少了Tikhonov正则化方法计算过程的时间复杂度，计算时间在1s以下且每次的运行耗时受模型复杂度变化的影响较小，为磁矩高精度高效率反演建模奠定基础。

附图说明

图1是基于改进L曲线模型函数法的磁性目标磁矩反演方法的流程示意图；

图2是带误差模型反演磁矩与实际磁矩对比分析；

图3是实施例中磁矩反演相对误差。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做更进一步的解释。

如图1所示，基于改进L曲线模型函数法得到磁性目标的磁矩，包括以下步骤：

步骤一、通过曲率公式对求解正则化参数的L曲线法进行改进：

a1、通过磁偶极子阵列模型H

a2、将正则化参数的L曲线法求解过程等价为求泛函ω(α)＝||LM(α)-H

如：基于L曲线法通过残差u(α)＝2log||LM(α)-H

步骤二、利用模型函数法将求解过程显性化：

b1、由Tikhonov泛函J(α)＝||LM(α)-H

J′(α)＝||M(α)||

其中L

J(α)+αJ′(α)+||LM(α)||

b2、由于J(α)是α的函数为隐式函数，利用简单函数F(α)来近似J(α)的性质，将F(α)代入(2)得

F(α)+αF′(α)+||LF(α)||

为了利用(3)构造出求解简单函数F(α)的表达式，假设||LF||

F(α)+αF′(α)+TF′(α)

b3、对(4)整理得到[(α+T)F(α)]′≈||H

对上式求导得

由于F(α)与J(α)在(0,+∞)上任意点可导，且定义域及对应法则相同则可以得到

b4、为了将α的求解过程显性化，将(5)(7)代入ω(α)得

当ω(α)′＝0时上式取得最小值，即

2γ||H

b5、由于(9)中的C、T为待求量，利用J(α)＝||LM(α)-H

b6、利用(9)式子求解α虽然较求泛函ω(α)＝||LM(α)-H

b7、因此首先设定初值α

(2C

b8、对(11)式进行变形得到

得到正则化参数的显式求解表达式。

步骤三、通过上述推导公式整理得到改进L曲线模型函数法算法步骤，求得正则化参数：

c1、输入误差项e、H

c2、通过L

c3、通过

c4、当γ||LM(α

c5、如果|(α

步骤四、基于改进L曲线模型函数法求出磁测目标的磁矩：

d1、为了验证上述正则化参数求解的准确性，首先利用不含误差的磁矩M及磁场强度H对，模型进行验证。根据已知的磁场强度H数据，基于求得的正则化参数α，代入Tikhonov泛函minJ(α)＝||LM(α)-H||

d2、在无误差有效的情况下，考虑到现实情况中测量得到的磁场强度数据H

d3、当模型的有效性及适用性被验证后，可以将实际测量的磁场数据代入基于改进L曲线模型函数法的Tikhonov正则化方法来计算磁性目标的磁矩，从而达到更好的研究磁性目标的性质。

为便于更清楚的本方案的具体效果进行展示说明，基于某X江的实地测试数据进行说明：

首先，选取四周空旷周围磁源较少的江边的平地作为实验场地，同时选取三块磁体作为磁源，及五个传感器对所设计点处的磁场强度的数据进行采集以达到磁场的精确测量；

测试过程中，首先保持磁源位置固定，传感器位置进行变化，数据采集系统采集不同测量点处数据，采集时间约2分钟；改变磁源位置，传感器位置做相同变化，数据采集系统采集数据，采集时间约2分钟。实验在每组固定磁源位置处可测得5组数据，实验共测得15组数据。通过上述数据对磁体的磁矩进行计算，其结果如图2和图3所示。

通过对比分析，本方法基于改进L曲线模型函数法、Tikhonov正则化方法提出了磁偶极子阵列模型磁矩的反演研究，仿真分析和现场实验结果表明该方法在提高磁矩计算精度的同时降低了磁矩计算过程的时间复杂度，具有重要的理论意义和实用价值。基于改进L曲线模型函数的Tikhonov正则化磁矩反演方法得到的磁矩结果的稳定性较强，能够有效的解决不适当问题的结果不连续依赖于初值的问题。且模型的相对误差都在5％左右，磁矩计算准确度较高，说明该模型在存在误差的情况下也能较好的逼近真实解，有效的解决了不适定问题较小的误差波动带来较大的误差结果的问题。同时该模型减少了Tikhonov正则化方法计算过程的时间复杂度，计算时间在1s以下且每次的运行耗时受模型复杂度变化的影响较小，为磁矩高精度高效率反演建模奠定了良好的基础。

最后应当说明的是，以上实施例仅用以说明本申请的技术方案，而非对本申请保护范围的限制，尽管参照较佳实施例对本申请作了详细地说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本申请的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本申请技术方案的实质和范围。