一种相场法中与区域无关积分求解方法

摘要

一种相场法中与区域无关积分求解方法，涉及断裂力学技术领域，针对现有技术中相场法在断裂模拟中存在裂纹尖端区域难以进行直接严密的分析，进而导致精度下降的问题，包括：步骤一：获取裂纹相场，并根据裂纹相场得到裂纹表面密度函数；步骤二：根据步骤一得到的裂纹表面密度函数结合弹性应变能密度函数，得到能量密度函数；步骤三：利用得到的能量密度函数导出能动张量；步骤四：对能动张量与裂纹相场的点积进行积分，得到区域无关积分。本申请给出了积分与区域无关性的证明过程，补充及完善相场法理论，在断裂模拟中会避开裂纹附近难以直接严密分析的区域，进而增加了模拟结果的准确性。

说明书

技术领域

本发明涉及断裂力学技术领域，具体为一种相场法中与区域无关积分求解方法。

背景技术

通常材料的断裂破坏是一种失效过程，它包含了三个阶段，分别是裂纹或缺陷的萌生、扩展以及完全失效，材料断裂破坏的研究大约有100年，并取得了一些显著的代表性成果，特别是基于连续介质力学建立起来的断裂力学已经为材料的断裂破坏提供了合理准确的理论，例如Griffith理论、应力强度因子、COD理论、J积分和最大周应力等理论。这些经典的断裂理论虽然为材料的断裂破坏提供了判据，但对于预测裂纹的演化过程仍是一个开放性的难题，例如预测裂纹的分叉、拐点和路径。这是因为材料的断裂破坏涉及了材料的微观，细观和宏观尺度，且材料的种类，服役环境都会影响材料的断裂破坏过程。近年来，相场法，即相场模型开始应用于断裂问题，现有关于相场断裂模型的理论研究表明：相场法可以模拟裂纹的演化规律，如裂纹的分叉和路径等，且不需要重画网格和J积分等其它理论，可见用相场法研究材料断裂破坏具有潜在优势，但是相场法被用于材料断裂破坏研究的时间相对较短，其理论还不完善，在模拟中裂纹尖端区域难以进行直接严密的分析，会导致精度的下降。

发明内容

本发明的目的是：针对现有技术中相场法在断裂模拟中存在裂纹尖端区域难以进行直接严密的分析，进而导致精度下降的问题，提出一种相场法中与区域无关积分求解方法。

本发明为了解决上述技术问题采取的技术方案是：

一种相场法中与区域无关积分求解方法，包括以下步骤：

步骤一：获取裂纹相场，并根据裂纹相场得到裂纹表面密度函数；

步骤二：根据步骤一得到的裂纹表面密度函数结合弹性应变能密度函数，得到能量密度函数；

步骤三：利用得到的能量密度函数导出能动张量；

步骤四：对能动张量与裂纹相场的点积进行积分，得到区域无关积分。

进一步的，所述裂纹表面密度函数表示为：

其中，φ表示裂纹相场，

进一步的，所述能量密度函数表示为：

其中，ψ

进一步的，所述能动张量表示为：

其中，δ

进一步的，所述区域无关积分表示为：

其中，T

进一步的，所述方法还包括步骤五，所述步骤五为验证步骤，所述步骤五通过分部积分法和格林公式进行。

本发明的有益效果是：

1)给出了与区域无关积分的表达式，可以被用于多种相场断裂模型。

2)给出了积分与区域无关性的证明过程，补充及完善相场法理论，在断裂模拟中会避开裂纹附近难以直接严密分析的区域，进而增加了模拟结果的准确性。

3)研究了与区域无关积分的物理意义，有助于用来分析材料的断裂破坏。

附图说明

图1为裂纹尖端处的封闭回路示意图；

图2为几何尺寸和边界条件示意图；

图3为裂纹的扩展路径示意图；

图4为区域无关积分随位移变化曲线图。

具体实施方式

需要特别说明的是，在不冲突的情况下，本申请公开的各个实施方式之间可以相互组合。

具体实施方式一：本实施方式所述的一种相场法中与区域无关积分求解方法，包括以下步骤：

步骤一：获取裂纹相场，并根据裂纹相场得到裂纹表面密度函数；

步骤二：根据步骤一得到的裂纹表面密度函数结合弹性应变能密度函数，得到能量密度函数；

步骤三：利用得到的能量密度函数导出能动张量(energy-momentum tensor)；

步骤四：对能动张量与裂纹相场梯度的点积进行积分，得到区域无关积分；

步骤五：利用分部积分法以及格林公式，对区域无关积分的区域无关性进行验证。

用φ(x)表示裂纹相场，其中φ＝0表示材料处于完整状态，φ＝1表示材料处于完全破坏状态。

在相场法中，对于一维问题，我们引入了一个指数函数来近似非光滑裂纹拓扑。

其中l是长度尺度参数，式(1)满足条件：

对式(1)进行二次求导，得：

Ω为定义域，在Ω中：

式(1)是方程(4)满足边界条件方程(2)的解。

通过方程(4)，给出相应的弱形式为：

其中ν是试函数。

通过微分方程(4)，式(5)给出相应的变分形式为：

其中：

arg{inf}表示集合中最大下界点的集合，W是满足方程(2)的条件。

将式(1)代入到式(7)，可得：

考虑在体积域dΩ＝Γdx的积分，得出表达式：

由于裂纹表面Γ与裂纹长度尺度参数l有关，通过式(9)可得：

则裂纹表面密度函数可表示为：

式(11)是一维裂纹表面密度函数，类似的，更高维度上的扩展可以表示为：

系统的总能量表示为：

Ψ＝Ψ

其中Ψ代表系统的总能量，Ψ

根据方程(12)，裂纹表面能Ψ

其中G

弹性能Ψ

其中

ψ(ε(u),φ)＝g(φ)ψ

g(φ)＝(1-φ)

其中C

u为位移向量，

利用式(13)-式(18)得：

其中

E即代表系统的能量密度函数

由能量密度函数，利用变分法得到控制方程：

其中i＝1,2,3和j＝1,2,3都分别代表x,y,z三个方向，α＝1,2,3,4，u

由于

得到方程：

令：

T

利用方程(25)，给出积分表达式：

其中i＝1表示裂纹扩展力，类似于Rice提出的J积分。

在求解积分时，对物体的尺寸和材料属性没有限制，所以方程可以适用于绝大多数均匀的脆性材料。

下面对式(27)在二维平面下的区域无关性进行验证。

如图1所示的裂纹尖端封闭回路，其中Ω

由分部积分法知：

根据式(24)，式(25)可知T

由格林公式，以及远离裂纹的区域φ＝0得：

根据式(28)-式(31)得出：

即证式(26)与区域无关，因此式(27)也与区域无关，采用类似的方法，三维情况可证。

模拟在拉伸状态下裂纹扩展，几何尺寸和边界条件如图2所示，弹性体积模量λ＝121.15KN/mm，剪切模量μ＝80.77KN/mm

分别在三个区域对区域无关积分进行计算，区域为：

1)x∈[-0.5mm,0.5mm],y∈[-0.5mm,0.5mm].

2)x∈[-0.5mm,0.5mm],y∈[-0.1mm,0.1mm].

3)x∈[-0.5mm,0.5mm],y∈[-0.05mm,0.05mm].

区域无关积分的结果如图4所示，图4的结果表明式(27)的区域无关性，且区域无关积分达到最大时裂纹开始扩展，所以式(27)也可以作为裂纹开始扩展的判据。

需要注意的是，具体实施方式仅仅是对本发明技术方案的解释和说明，不能以此限定权利保护范围。凡根据本发明权利要求书和说明书所做的仅仅是局部改变的，仍应落入本发明的保护范围内。