一种用于清除空间碎片的绳系拖曳系统及方法

摘要

本发明公开的一种用于清除空间碎片的绳系拖曳系统及方法，属航天技术领域。本发明公开一种用于清除空间碎片的绳系拖曳系统，包括拖船、系绳和系绳收放机构，被拖曳清除对象为空间碎片；系绳连接于拖船的一端为主绳，另一端分叉出多根子绳连接于空间碎片边缘，借助拖船产生推力，使空间碎片拖曳离轨，完成清除任务；采用多根子绳连接于空间碎片边缘能够增加系统的冗余度，提高绳系拖曳系统的可靠性；与空间碎片相连的多根子绳能产生对空间碎片的姿态偏差进行修正的力矩，抑制空间碎片的姿态运动，避免绳系拖曳系统失稳。本发明还公开一种用于清除空间碎片的绳系拖曳方法，用于所述一种用于清除空间碎片的绳系拖曳系统，能够实现清除空间碎片的目的。

说明书

技术领域

本发明涉及一种用于清除空间碎片的绳系拖曳系统及方法，尤其涉及一种采用多绳分叉拖曳大型柔性空间碎片的清除系统及方法，属航天技术领域。

背景技术

绳系拖曳系统，它通过系绳将拖船和空间碎片相连，对拖船实施适当的轨道机动，从而将空间碎片带入坟墓轨道或坠入大气层烧毁。该系统结构简单，系绳长度可变且对使用环境无特殊要求，因此被认为是清除空间碎片的有效方法之一。地球同步轨道上的空间碎片相较于其他空间碎片而言，往往尺寸更大，质量更重，且携带有柔性附件，柔性附件的抖动会对系统的稳定性带来极大的影响。针对此类空间碎片的清除技术研究甚少，目前仅有两篇已发表的论文对携带有柔性附件的空间碎片绳系拖曳系统进行了基础的研究(Aslanov,V.S.,and Yudintsev,V.V.,"Dynamics,Analytical Solutions and Choice ofParameters for Towed Space Debris with Flexible Appendages."Advance in SpaceResearch 55.2(2015):660-667；Aslanov,V.S.,and Yudintsev,V.V.,"Behavior oftethered debris with flexible appendages."Acta Astronautica 104(2014):91-98)。在其研究中，采用单绳连接拖船和空间碎片的拖曳方式，在数学分析中将拖船视为质点，将系统简化在轨道平面内，模型相对简单，分析所得结果也仅适用于特殊条件下的空间碎片拖曳清除。此外，单绳的连接方式使得空间碎片的姿态运动很难得以控制，柔性附件的振动对系统的影响不能消除，空间碎片任何方向的初始姿态偏差都可能导致系统失稳，甚至影响任务的成败。因此，针对空间碎片，尤其针对GEO轨道上的带有柔性附件的空间碎片的绳系拖曳离轨技术仍然需要进一步研究。

发明内容

本发明公开的一种用于清除空间碎片的绳系拖曳系统及方法要解决的技术问题是：通过绳系拖曳实现清除空间碎片的目的，具有如下优点：(1)采用多根子绳连接于空间碎片边缘能够增加绳系拖曳系统的冗余度，应对系绳断裂的突发情况，提高系统的可靠性；(2)与空间碎片相连的多根子绳能产生对空间碎片姿态偏差进行修正的力矩，控制空间碎片的姿态运动，避免绳系拖曳系统失稳；(3)系绳与拖船和空间碎片的连接点随机，拖船和空间碎片的几何结构无约束，使得本发明中提出的系统及方法普遍适用于任意多绳多柔性附件的空间碎片的绳系拖曳清除；(4)主绳与多根子绳的分叉点通过万向节结构连接，能够避免空间碎片旋转导致的系绳缠绕。

本发明的目的通过以下技术方案实现。

本发明公开的一种用于清除空间碎片的绳系拖曳系统，包括拖船、系绳和系绳收放机构，被拖曳清除对象为空间碎片。系绳连接于拖船的一端为主绳，另一端分叉出多根子绳连接于空间碎片边缘，借助拖船产生推力，使空间碎片拖曳离轨，完成清除任务。采用多根子绳连接于空间碎片边缘能够增加系统的冗余度，应对系绳断裂的突发情况，提高绳系拖曳系统的可靠性。与空间碎片相连的多根子绳能产生对空间碎片的姿态偏差进行修正的力矩，同时抑制空间碎片的姿态运动，避免绳系拖曳系统失稳。

根据空间碎片是否携带有柔性附件确定多根子绳连接于空间碎片的位置，当空间碎片携带有柔性附件时，为增强系绳的控制能力，多根子绳连接于空间碎片的柔性附件末端，使得系绳能提供更大的力矩，通过力矩稳定空间碎片的姿态运动并抑制柔性附件的振动。

为避免空间碎片旋转导致系绳缠绕，主绳与多根子绳的分叉点通过万向节结构连接。

本发明还公开一种用于清除空间碎片的绳系拖曳方法，用于所述的清除空间碎片的绳系拖曳系统，通过在轨释放小型拖船，利用轨道控制策略使其与空间碎片主动交会；将系绳末端与空间碎片的柔性附件末端相连；建立整个带有空间碎片的绳系拖曳系统的动力学模型，根据稳定性条件判断所选取的系绳长度和拖船推力能否将系统保持稳定，若不能，则重新选取数值进行稳定性判断，直至所选系绳原长和拖船推力能够使整个系统进入稳定状态；利用所选取的拖船推力、主绳及子绳长度对系统的轨道姿态运动进行控制，使整个带有空间碎片的绳系拖曳系统实现安全稳定的离轨操作，完成空间碎片的清除任务。

系绳末端与空间碎片的柔性附件末端的连接方式包括抛射方式或主动导引方式。

本发明公开的一种用于清除空间碎片的绳系拖曳方法，用于所述的清除空间碎片的绳系拖曳系统，包括如下步骤：

步骤一：使用轨道控制策略使所述的一种用于清除空间碎片的绳系拖曳系统与空间碎片主动交会，并将分叉出的多根子绳连接于空间碎片边缘。

步骤二：借助拖船推力及系绳收放机构对整个带有空间碎片的绳系拖曳系统的加速度、主绳及子绳的长度进行调控，从而使系统各项参数保持在平衡位置附近，避免系统剧烈的振荡引起系绳和柔性附件的断裂，保证整个带有空间碎片的绳系拖曳系统的稳定性和安全性。

步骤2.1：建立整个带有空间碎片的绳系拖曳系统的三维动力学模型。

将拖船看作刚体，空间碎片视为中心刚体携带有N个柔性附件，N数目不限，系绳看作分段的弹簧阻尼系统，质量集中于分叉点。为描述整个带有空间碎片的绳系拖曳系统中各体的相对运动和在惯性空间中的绝对运动，首先定义如下坐标系：惯性坐标系f_e(o_ex_ey_ez_e)，原点位于地球质心，方向固定在惯性空间中；轨道坐标系f_o(o_ox_oy_oz_o)，原点位于主绳和子绳的分叉点处，z_o轴由原点指向地心，x_o轴在轨道平面内与z_o轴垂直并指向卫星速度方向，y_o轴与x_o，z_o轴右手正交且与轨道平面的法线平行。拖船的本体坐标系f_b1(o_b1x_b1y_b1z_b1)，固定在其本体上，o_b1为拖船的质心，三个坐标轴分别沿拖船的惯性轴方向；空间碎片的本体坐标系f_b2(o_b2x_b2y_b2z_b2)，固定在其本体上，o_b2为柔性附件未变形时空间碎片的质心，三个坐标轴分别沿空间碎片的惯性轴方向。柔性附件k的本体坐标系f_ak(o_akx_aky_akz_ak)，固定在其本体上，o_ak为柔性附件与空间碎片本体系连接点的中心，y_ak为柔性附件长边方向，z_ak为横向，x_ak与y_ak和z_ak满足右手定则。

拖船的质量为m_b1，空间碎片中心体的质量为m_b2，柔性附件k的质量分别为m_ak。系绳分叉点B的质量为m₃。系绳与拖船的连接点A在拖船本体系f_b1的位置矢量为ρ_A，系绳与空间碎片的连接点B_i在空间碎片的柔性附件k的本体坐标系下的位置矢量为若空间碎片不携带柔性附件，则系绳与空间碎片的连接点B_i的位置矢量表示在空间碎片本体系下。拖船的姿态角表示为是拖船本体系相对于轨道系f_o的欧拉角，表示在拖船本体系f_b1下。空间碎片中心体的姿态角表示为是空间碎片本体系相对于轨道系f_o的欧拉角，表示在空间碎片本体系f_b2下。

对携带有N个柔性附件的空间碎片的绳系拖曳系统，选取系统的广义坐标为：

其中，R₁，R₂和R₃分别为o_e到o_b1，o_b2和B的位置矢量在f_e下的分量列阵，和分别是拖船和空间碎片的本体系相对于惯性系的绝对转角在f_b1和f_b2下的分量列阵，q_ak为第k个柔性附件的前l阶模态坐标组成的l×1列阵，与时间有关，N是柔性附件的总个数。右上角标T表示矩阵的转置。选取广义坐标的时间导数作为广义速率，并设置广义速率列阵为：

则显然有，其中，ω_b1和ω_b2分别为拖船和空间碎片中心体相对于惯性系的角速度矢量在f_b1和f_b2下的分量列阵。对带有空间碎片的绳系拖曳系统中各个质量点进行动力学及运动学分析，得到由广义坐标表示的整个带有空间碎片的绳系拖曳系统动力学方程(1)-(6)：

其中，上标“～”表示向量的叉乘矩阵，A_e,b1和A_e,b2分别表示拖船本体系和空间碎片本体系到惯性系的转换矩阵，逆矩阵表示为A_b1,e和A_b2,e；A_e,ak表示第k个柔性附件的本体系到惯性系的转换矩阵，逆矩阵表示为A_ak,e；A_ak,b2表示空间碎片本体系到第k个柔性附件本体系的转换矩阵，逆矩阵为A_b2,ak；K_ak和C_ak分别为空间碎片上柔性附件k的模态刚度阵和模态阻尼阵；和分别表示拖船，空间碎片和系绳分叉点B所受的广义外力的合力矩阵，表示在惯性系下；为拖船合外力对o_b1的力矩列阵，表示在拖船本体系下；为空间碎片所受合外力对o_b2的力矩列阵，表示在空间碎片本体系下；Q_ak为对应于广义坐标q_ak的广义外力，表示在柔性附件k的本体系下。其余各变量的具体表达形式如下：

S_bΛ＝∫_bΛr_bΛdm_bΛ>

其中，Λ＝1,2分别代表拖船和空间碎片中心体，r_bΛ表示o_bΛ到质量微元dm_bΛ的位置矢量在f_bΛ下的分量列阵。

P_ak＝∫_akN_akdm_ak(10)

S_ak＝∫_ak(r_ak+u_ak)dm_ak＝∫_ak(r_ak+N_akq_ak)dm_ak>

S_bak＝m_akr_bak+A_b2,akS_ak>

其中，N_ak为第k个柔性附件的前l阶模态在f_ak下的分量列阵组成的3×l阶矩阵，与柔性附件k上的质量微元dm_ak的位置有关，r_bak为柔性附件k未变形时o_b2到其安装位置o_ak的位置矢量在f_b2下的分量列阵，r_ak为柔性附件k未变形时o_ak到其上的质量微元dm_ak的位置矢量在f_ak下的分量列阵，u_ak为微元dm_ak的弹性位移矢量在f_ak下的分量列阵。利用模态展开，弹性位移u_ak用前l阶模态及模态坐标近似表示为：

u_ak＝N_akq_ak>

步骤2.2：求取带有空间碎片的绳系拖曳系统所受的广义外力。

拖船所受合外力在惯性系中的列阵表示为该合外力由拖船所受重力绳子的张力F_lA，阻尼力F_dA，和发动机推力F_t组成，即：

各力的具体表达形式如下：

其中，μ是地球引力常数，||·||表示向量的二范数，k_A和c_A分别表示系绳AB的刚度系数和黏性阻尼系数，l_AB0表示系绳AB的未变形长度。根据带有空间碎片的绳系拖曳系统中存在的几何关系求取系绳l_AB及其导数的矢量表示形式如下：

l_AB＝R₃-R₁-A_e,b1ρ_A(26)

其中，l_AB的矢量方向为由A到B。

空间碎片所受合外力在惯性系中的列阵表示为该合外力由空间碎片中心体和柔性附件所受重力合力绳子的张力和阻尼力组成，即：

其中，i为子绳的编号，其最大值为I。各力的具体表达形式如下：

其中，j为柔性附件k上的质量微元编号，其最大值为J。和分别表示系绳BB_i的刚度系数和黏性阻尼系数，表示系绳BB_i的未变形长度。根据系统中存在的几何关系求取系绳及其导数的矢量表示形式如下：

其中，的矢量方向为由B到B_i，表示柔性附件k上的B_i点的模态矩阵。

节点B所受的合外力在惯性系中的列阵表示为即：

拖船所受的合外力矩在f_b1中的列阵表示为该合外力矩由拖船所受重力梯度力矩和系绳提供的力矩M_A组成，即：

各力矩的具体表达形式如下：

空间碎片所受合外力矩在f_b2中的列阵表示为该合外力矩由空间碎片中心体和柔性附件所受重力梯度力矩及系绳提供的力矩组成，即：

各力矩的具体表达形式如下：

对应于广义坐标q_ak的广义外力在f_ak中的列阵表示为Q_ak，它由作用在柔性附件k上的分布力和系绳与柔性附件的连接点B_i处柔性附件所受广义外力组成，即：

其中，I_k表示连接在柔性附件k上的系绳总数。各力的具体表达形式如下：

将以上各广义外力带入方程(1)-(6)中，则获得整个带有空间碎片的绳系拖曳系统的完整动力学模型。

步骤2.3：分析系统的平衡状态，求取整个带有空间碎片的绳系拖曳系统平衡状态下的各项参数。

由于拖船和空间碎片的几何尺寸有限，且系统整体上运行于中高轨道，重力梯度力矩力矩对拖船和空间碎片姿态的影响相比于系绳张力引起的力矩是小量，因此在平衡状态分析阶段，忽略拖船和空间碎片所受重力梯度力矩对系统姿态造成的影响。此外，由于拖船推力很小，其在短时间内对系统轨道的改变量忽略不计，认为带有空间碎片的绳系拖曳系统仍处于原始轨道。

根据平衡状态的定义，将和带入动力学方程(1)-(6)中，获得系统平衡状态方程(44)-(49)。

由方程(47)可知，在拖船无主动姿态控制时，为保证拖船姿态平衡，主绳与拖船的连接点须位于拖船质心位置，即:

ρ_A＝0(50)

联立方程(44)-(46)解得，整个带有空间碎片的绳系拖曳系统在推力F_t的作用下具有加速度

将方程(50)和(51)的数值带入方程(48)和(49)中，得到关于q_ak和R₂-R₃两个变量的方程组，采用数值方法对其进行求解，得到带有空间碎片的绳系拖曳系统在给定绳长，给定拖船推力情况下的平衡状态。该平衡状态能够反映系绳拉力与柔性附件弯曲程度之间的关系，用于预测柔性附件及系绳的断裂情况，并对系绳长度和拖船推力的取值范围有指导作用。

步骤2.4：在平衡状态附近，根据泰勒公式对动力学方程(1)-(6)进行线性化，进一步分析平衡状态系统的稳定性。

系统中各广义坐标的平衡状态表示为θ_e1＝0，ψ_e1＝0；θ_e2＝0，ψ_e2＝0，其他广义速度和加速度与步骤2.3中的取值相同，平衡状态附近的系统广义坐标均表示为Γ＝Γ_e+δΓ的形式，其中Γ是动力学系统中广义坐标和其一阶、二阶导数组成的列向量，Γ_e表示其在平衡位置的取值，δΓ则表征其偏离平衡位置的小量偏差。将以上各广义坐标及其一阶、二阶导数的表达式带入动力学方程(1)-(6)中，得到带有空间碎片的绳系拖曳系统的线性化的系统动力学方程

其中，M为质量阵，C为阻尼阵，K为刚度阵。各变量的具体形式如下：

其中，l_ABe和分别表示系绳AB和系绳BB_i在平衡状态下的矢量表达形式，其模值分别为l_ABe和此外，其中q_ake表示第k个柔性附件的模态坐标在平衡状态下的取值。线性化后的带有空间碎片的绳系拖曳系统的特征方程表示如下：

Mλ²+Cλ+K＝0(85)

其中，λ表示系统的特征根。特征根实部为负，则说明系统稳定。特征根的虚部表征系统参数的各阶振荡频率，特征根若为纯虚数则表征等幅振荡运动，若为复数则体现有阻尼的振荡运动。

选取拖船推力、主绳和子绳原长，带入特征方程(85)中求取系统的特征根，若特征根实部为正，则调整推力、主绳和子绳原长，最终使得特征根λ的实部非正，这表明带有空间碎片的绳系拖曳系统处于李雅普诺夫意义下的稳定，能避免系统剧烈的振荡引起系绳和柔性附件的断裂，保证系统的稳定性和安全性。

步骤三：将前述步骤选取的推力、主绳和子绳的原长用于空间碎片清除任务中，启动拖船发动机施加推力，将空间碎片拖曳离轨，即通过绳系拖曳实现清除空间碎片。

以上步骤及方法中均以带有柔性附件的空间碎片为清除对象，对不带有柔性附件的空间碎片则只需在以上步骤中将子绳连接在空间碎片边缘，相应的该连接点的位置矢量表示在空间碎片本体系下，并将柔性附件的质量和模态坐标取为零即可。

有益效果：

1、本发明公开的一种用于清除空间碎片的绳系拖曳系统及方法，通过绳系拖曳实现清除空间碎片，采用多根子绳连接于空间碎片边缘能够增加系统的冗余度，应对系绳断裂的突发情况，提高绳系拖曳系统的可靠性。

2、本发明公开的一种用于清除空间碎片的绳系拖曳系统及方法，与空间碎片相连的多根子绳能产生对空间碎片的姿态偏差进行修正的力矩，抑制空间碎片的姿态运动，避免绳系拖曳系统失稳。

3、本发明公开的一种用于清除空间碎片的绳系拖曳系统及方法，系绳与拖船和空间碎片的连接点随机，拖船和空间碎片的几何结构无约束，使得系统普遍适用于任何多绳多柔性附件的空间碎片的绳系拖曳系统。

4、本发明公开的一种用于清除空间碎片的绳系拖曳系统及方法，主绳与多根子绳的分叉点通过万向节结构连接，能够避免空间碎片旋转导致的系绳缠绕。

5、本发明公开的一种用于清除空间碎片的绳系拖曳系统及方法，当空间碎片携带有柔性附件时，为增强系绳的控制能力，多根子绳连接于空间碎片的柔性附件末端，使得系绳能提供更大的力矩，通过力矩稳定空间碎片的姿态运动并抑制柔性附件的振动。

6、本发明公开的一种用于清除空间碎片的绳系拖曳方法，建立整个带有空间碎片的绳系拖曳系统的三维动力学模型是绳网的简化模型，因此，能够用于绳网清除空间碎片的初步分析和估算。

附图说明

图1为带有空间碎片的绳系拖曳系统在轨运行示意图；

图2为带有柔性附件的空间碎片的绳系拖曳清除系统示意图；

图3为本发明的一种用于清除空间碎片的绳系拖曳系统方法的流程图；

图4为空间碎片中心体姿态角的时间历程。

图5为绳系拖曳系统中各绳绳长的时间历程。

图6为空间碎片帆板的前三阶模态坐标的时间历程。

图7为拖船中心到分叉点B的位置矢量在轨道系的三轴分量时间历程。

图8为分叉点B到碎片中心的位置矢量在轨道系的三轴分量时间历程。

具体实施方式

为了更好地说明本发明的目的和优点，下面结合附图与实施例对本发明的具体实施方式做进一步详细的说明。

实施例1：

为了验证方法的可行性，下面给出一组数值仿真结果。带有空间碎片的绳系拖曳系统的初始参数均列在表1中。

表1 数值仿真参数

带有空间碎片的绳系拖曳系统整体运行于绕地球的圆形轨道上，如图1所示。考虑空间碎片上对称安装有两个柔性帆板，分别记为帆板1和2。系绳与拖船的连接点位于拖船质心，系绳在B点分叉为四根子绳，子绳1和2连接于帆板1的上末端和下末端，子绳3和4分别连接于帆板2的下末端和上末端，如图2所示，各绳的弹性系数和黏性阻尼系数相同。对于广义坐标的初值，拖船和空间碎片的初始姿态角及角速度均取为零，表1中轨道根数初值作为分叉点B的初始轨道参数，B点到拖船中心的位矢为[-150,0,0]m，B点到空间碎片中心的位矢为[150,0,0]m，三点之间相对速度为零。帆板的初始模态坐标为零，频率及其上各点的质量，位置，模态矩阵均由给定材料和尺寸的帆板的有限元方法计算获得，由于得到的数据量庞大，为避免篇幅过长，在本实施例中省略展示。

步骤一：使用轨道控制策略使所述的一种用于清除空间碎片的绳系拖曳系统与空间碎片主动交会，并采用主动导引方式将分叉出的多根子绳连接于空间碎片边缘。

步骤二：借助拖船推力及系绳收放机构对整个带有空间碎片的绳系拖曳系统的加速度、主绳及子绳的长度进行调控。

步骤2.1：采用凯恩方法建立整个带有空间碎片的绳系拖曳系统的三维动力学模型。

在该系统中，由于拖船是正常工作的航天器，具备对其自身的姿态控制能力，因此为简化推导，在动力学建模中将拖船视为质点，忽略其姿态运动。取系统的广义坐标推导得到动力学模型表示如下：

步骤2.2：求取带有空间碎片的绳系拖曳系统所受的广义外力并对系统动力学方程进行数值仿真。

根据受力特点，分别求取拖船，空间碎片和系绳分叉点B所受的重力，系绳张力、阻尼力及推力，计算空间碎片所受重力梯度力矩及系绳提供的力矩，帆板1和2所受的重力梯度力矩及系绳提供的力矩，得到系统的广义外力矩阵并将其带入方程(86)-(91)中，得到该实施例中带有2个帆板的空间碎片的绳系拖曳系统动力学模型。

采用表1中给定的初始参数对动力学模型进行数值仿真，图4表示空间碎片中心体姿态角随时间的变化情况，其值在零点附近呈持续振荡且逐渐收敛的趋势。这是由于空间碎片在重力梯度力矩的作用下会产生偏离零值的初始姿态角，这导致连接在帆板一侧的系绳拉伸长紧，从而产生力矩将姿态角修正，当姿态角为负时，则由另一侧系绳提供力矩修正姿态角的偏差。姿态角在四根系绳的张力提供的力矩作用下，在零值附近振荡，保持稳定。

图5表示绳系拖曳系统中主绳AB和四根子绳BB_i长度的变化情况。所有系绳在拖曳过程中均交替长紧松弛，其长度基本稳定在原长附近。图6表示帆板1和2的前三阶模态坐标的变化情况。帆板在受到系绳拉力作用后发生变形，其一阶和三阶模态均在约1500s后逐渐收敛，二阶模态则始终保持零值，这是由于本实施例中所取帆板的二阶模态表征其扭转程度，由于系统始终保持对称状态，因此帆板无扭转变形。

图7表示拖船与分叉点B的相对位置矢量的变化情况，其x轴分量在极小范围内振荡，z轴方向出现持续微幅振荡。图8表示分叉点B与空间碎片的相对位置矢量的变化情况，其x轴的振幅较图7更大，这主要是由于帆板变形与系绳变形效应叠加。在帆板阻尼的作用下，x轴振荡幅值呈现明显的收敛稳定趋势。

仿真结果表明，系统具有大部分参数振荡收敛，个别参数等幅振荡的特点。总体上，带有空间碎片的绳系拖曳系统能保持稳定状态，能够完成安全稳定拖曳离轨的空间碎片清除任务。

步骤2.3：分析系统的平衡状态，求取整个带有空间碎片的绳系拖曳系统平衡状态下的各项参数。

根据平衡状态的定义，将和带入动力学方程(86)-(91)中。为简化表达，本步骤中所出现的各变量均代表其平衡位置的取值。根据对称性可知，帆板1和2的变形情况完全相同，即q_a1＝q_a2，拖船和空间碎片在平衡位置的姿态角及角速度均为零。此外，由于拖船推力的数值很小，其在短时间内对系统轨道的改变量忽略不计，认为系统仍处于原始轨道，即R₁的取值与初始相同。令R₁₃＝R₃-R₁，R₃₂＝R₂-R₃，则得到如下三个关于静平衡解的方程：

由公式(92)解出R₁₃的值，由方程(93)和(94)联立解得帆板1和2在静平衡状态下的模态坐标q_a1及分叉点B到空间碎片的距离R₃₂。具体数值如下：

对于运行在圆轨道上且初始构型完全对称的带有空间碎片的绳系拖曳系统，其平衡状态下系统仍然处于沿轴线方向，系绳变形的对称性使得帆板不存在扭转变形，其二阶模态坐标为零，这与理论分析的结果吻合，验证动力学模型和平衡方程的正确性。此外数值仿真结果中，帆板的二阶模态也始终保持零值，一阶和三阶模态在帆板阻尼特性的影响下逐渐收敛于特定值附近，该值与平衡方程(95)-(97)求解所得数值结果基本吻合，理论分析与数值仿真结果一致，验证系统模型和平衡解的正确性。

步骤2.4：在平衡状态附近，根据泰勒公式对动力学方程(86)-(91)进行线性化，进一步分析平衡状态系统的稳定性。

将步骤2.3中计算所得的平衡位置的各物理参数带入线性化的系统方程(52)中，得到平衡位置附近系统的质量阵M，阻尼阵C和刚度阵K。通过公式(53)求得系统的各特征值如下表所示：

表2 数值仿真参数

表2中各特征值的实部均为非正数，这表示系统各物理量均呈等幅振荡或衰减振荡趋势，表明线性化的系统(52)是李雅普诺夫意义下的稳定。由于特征值中出现纯虚数，说明原非线性系统，即由方程(1)-(6)表示的带有空间碎片的绳系拖曳系统的平衡状态是一种临界状态，其稳定性将取决于高阶导数项，而不能由一阶线性化后的特征方程(52)的符号来确定。

步骤三：将前述步骤选取的推力、主绳和子绳的原长用于空间碎片清除任务中，启动拖船发动机施加推力，将空间碎片拖曳离轨，即通过绳系拖曳实现清除空间碎片。

以上所述的具体描述，对发明的目的、技术方案和有益效果进行进一步详细说明，所应理解的是，以上所述仅为本发明的具体实施例而已，并不用于限定本发明的保护范围，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。